Image Processing Reference
In-Depth Information
Φ
λ
v
→
+(
− λ
)
=
λ
Φ(
)+(
− λ
)Φ(
)
4. Mit
Φ
:
Y
X affin linear, d.h.
u
1
u
1
v
für alle
u
,
v
∈
Y und
λ
∈
[
0, 1
]
, ist F
◦
Φ
konvex auf Y.
(
)=
(
)
5.
Das punktweise Supremum F
u
sup
i∈I
F
i
u
einer Familie konvexer Funktionale
F
i
:
X
→
R
mit i
∈
I und I nichtleer ist konvex.
∞
Beweis.
Zu 1. und 2.: Dies ergibt sich aus leichten Rechnungen.
Zu 3.: Man rechnet nach: Für
u
,
v
∈
X
,
λ
∈
[
0, 1
]
ist
F
λ
v
≤
ϕ
λ
)
≤
λϕ
F
)
+(
−
λ
)
ϕ
F
)
.
ϕ
u
+(
1
−
λ
)
F
(
u
)+(
1
−
λ
)
F
(
v
(
u
1
(
v
Zu 4.: Affin-lineare Abbildungen sind kompatibel mit Konvexkombinationen. Daher
ist
F
v
Φ
λ
F
λ
Φ
(
)
≤
λF
Φ
(
)
+(
F
Φ
(
)
u
+(
1
−
λ
)
=
u
)+(
1
−
λ
)
Φ
(
v
u
1
−
λ
)
v
∈
λ ∈
[
]
für
u
,
v
Y
und
0, 1
.
Zu 5.: Seien
u
,
v
∈
X
und
λ
∈
[
0, 1
]
. Für beliebiges
i
∈
I
gilt nach der Supremumsde-
finition die Ungleichung
F
i
λ
v
u
+(
1
−
λ
)
≤
λ
F
i
(
u
)+(
1
−
λ
)
F
i
(
v
)
≤
λ
F
(
u
)+(
1
−
λ
)
F
(
v
)
,
und daher auch für das Supremum
F
v
über alle
i
λ
u
+(
1
−
λ
)
∈
I
.
Bemerkung 6.22
Analoges zu Lemma 6.21 lässt sich für strikt konvexe Funktionale
F
sagen:
α >
0,
G
konvex,
⇒ α
+
ϕ ◦
•
F
,
F
G
,
F
strikt konvex,
ϕ
konvex, streng monoton steigend
affin linear, injektiv,
F
1
,...,
F
N
strikt konvex
Φ
•
⇒
F
◦
Φ
,
max
i
=
1,...,
N
F
i
strikt konvex.
Neben diesen Aussagen seien einige abstrakte sowie konkrete Beispiele genannt,
siehe auch Abbildung 6.6.
Beispiel 6.23
(Konvexe Funktionale)
1.
Potenzen
Die Funktionen
p
sind konvex für
p
→
→|
|
≥
ϕ
:
R
R
definiert durch
x
x
1 und
strikt konvex für
p
>
1. Jede zweimal stetig differenzierbare Funktion
ϕ
:
R
→
R
ϕ
(
)
≥
mit
x
0 für alle
x
ist konvex und strikt konvex, falls die strikte Ungleichung
gilt.
2.
Normen
Jede Norm
·
X
auf einem normierten Raum ist konvex, denn
λ
+(
− λ
)
X
≤|λ|
X
+
|
− λ|
X
u
1
v
u
1
v
