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Bemerkung 6.19
Für ein Funktional
F
:
X
→
R
, für welches ein es schwach unterhalbstetiges
F
0
:
X
→
∞
≤
R
gibt, so dass
F
0
F
punktweise gilt, ist folgende Konstruktion möglich:
∞
G
:
X
F
(
)=
{
(
)
→
≤
}
u
sup
G
u
R
,
G
F
,
G
schwach unterhalbstetig
.
∞
Nach Lemma 6.14 Punkt 5 ergibt dies ein schwach unterhalbstetiges Funktional mit
F
≤
F
. Nach Konstruktion ist es das größte schwach unterhalbstetige Funktional, welches
unterhalb von
F
liegt, es wird die
schwach unterhalbstetige Hülle
genannt.
6.2.2 Konvexe Analysis
Dieser und die folgenden Unterabschnitte sollen einen Überblick über die grundlegen-
den Ideen der Konvexen Analysis mit Fokus auf Anwendung für Variationsprobleme
in der Bildverarbeitung geben. Die Ergebnisse und weiterführendes Material finden
sich auch in den Standardwerken beziehungsweise Lehrbüchern zu dem Themenge-
biet, zum Beispiel in [119, 54, 16]. Hauptgegenstand der Untersuchung in der konvexen
Analysis sind natürlich konvexe Funktionale, an deren Definition an dieser Stelle erin-
nert sei.
Definition 6.20
(Konvexität für Funktionale)
Ein Funktional
F
:
X
→
R
auf einem normierten Raum heißt
konvex
, falls für alle
∞
u
,
v
∈
X
und
λ
∈
[
0, 1
]
gilt:
F
λ
v
u
+(
1
−
λ
)
≤
λ
F
(
u
)+(
1
−
λ
)
F
(
v
)
.
∈
=
λ ∈
]
[
Es wird
strikt konvex
genannt, wenn für alle
u
,
v
X
mit
u
v
und
0, 1
die
Ungleichung
F
λ
v
u
+(
1
−
λ
)
<
λ
F
(
u
)+(
1
−
λ
)
F
(
v
)
gilt.
Im Folgenden werden wir uns intensiv mit konvexen Funktionalen auseinander-
setzen. Es wird sich herausstellen, dass diese eine Reihe erwünschter Eigenschaften
besitzen. Letztere sind besonders interessant für die theoretische Behandlung von Mi-
nimierungsproblemen. Beginnen wir zunächst mit der mehr oder weniger offensicht-
lichen Konstruktion und Identifikation einiger konvexer Funktionale. Die Mittel aus
Lemma 6.14 lassen sich analog für den Konvexitätsbegriff anwenden.
Lemma 6.21
(Konstruktion von konvexen Funktionalen)
Im Folgenden seien X
,
Y stets normierte Räume und F
:
X
→
konvex. Dann gilt:
R
∞
1.
Für
α
≥
0
ist
α
F konvex.
2.
Ist G
:
X
→
+
R
konvex, so auch F
G.
∞
3.
Für
ϕ
:
R
∞
→
R
konvex und monoton steigend auf dem Bild von F ist die Komposition
∞
ϕ ◦
F ebenfalls konvex.
