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)=
2
R
d
2
d
x
wenn wir es mit
)=
2
x
2
(
|∇
|
ϕ
(
Unterhalbstetigkeit von
F
2
u
u
x
und
Φ
=
∇
ausdrücken durch
F
2
=
ϕ
◦·
L
2
◦
Φ
:
H
1
R
d
L
2
R
d
,
R
d
∇
(
)
→
(
)
=
(wobei
). Nach Lemma 6.14 Punkt 2 ist schließlich
F
F
2
schwach unterhalbstetig in
H
1
R
d
F
1
+
(
)
, also das Funktional in (6.1).
Φ(
)=
2.
Bei (6.3) können wir analog vorgehen. Die einzige Änderung besteht in
u
u
0
k
für das Funktional
F
1
. Die schwache Unterhalbstetigkeit ist jedoch mit-
hilfe der Youngschen Ungleichung aus Satz 3.13 schnell nachgewiesen.
−
u
∗
u
0
3.
Gleiches gilt für das Beispiel 6.4, hier ist jedoch die Beschränkung
u
=
auf
Ω
\
Ω
zu beachten. Wir behandeln sie folgendermaßen:
0
H
0
(
Ω
)
falls
v
∈
u
0
F
1
(
u
)=
I
H
0
(
Ω
)
(
u
−
)
,
I
H
0
(
Ω
)
(
v
)=
∞
sonst.
Man sieht leicht (Aufgabe 6.2), dass
H
0
(
Ω
)
ein abgeschlossener Teilraum von
in
H
0
(
Ω
)
⊂
H
1
u
n
H
1
(
Ω
)
ist. Es gilt für jede Folge
(
)
(
Ω
)
mit schwachem Grenz-
H
1
wert
u
∈
(
Ω
)
, dass
H
0
(Ω
)
⊥
⊂
H
1
u
n
,
v
∈
(Ω)
(
)=
→
∞
(
)=
v
:
u
,
v
lim
n
0.
H
0
(Ω
)
Folglich ist
u
∈
und damit
I
H
0
(Ω
)
schwach unterhalbstetig. Mit
F
2
aus
Punkt 1 und
F
=
F
1
+
F
2
ergibt sich die schwache Unterhalbstetigkeit des Funk-
tionals in (6.5).
Damit wäre die Frage nach der Existenz von minimierenden Elementen für die Ein-
gangsprobleme geklärt. Allgemein liefert die Vorgehensweise folgende Aussage:
Satz 6.17
(Die direkte Methode im Banach-Raum)
Sei X ein reflexiver Banach-Raum und F
:
X
nach unten beschränkt, koerziv und
schwach unterhalbstetig. Dann besitzt die Minimierungsaufgabe
→
R
∞
min
u
F
(
u
)
∈X
eine Lösung in X.
Für Dualräume
X
∗
von separablen normierten Räumen
X
lässt sich leicht eine analo-
ge Aussage beweisen, vorausgesetzt
F
ist schwach* unterhalbstetig (Aufgabe 6.4). Wie
wir gesehen haben, ist der Begriff der schwachen Unterhalbstetigkeit zentral für die
Argumentation. Daher ist die Frage, welche Funktionale diese Eigenschaft besitzen, ein
ausführlich untersuchtes Thema in der Variationsrechnung. Leider lässt sich diese Frage
nicht einheitlich beantworten. Folgendes Beispiel gibt einen Einblick in die Schwierig-
keiten, die dort auftreten.
