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u
n
eine Folge in
X
mit
u
n
(
)
∈
Beweis.
Sei im Folgenden
u
für ein
u
X
.
Zu 1. und 2.: Leichte Rechnungen ergeben
u
n
u
n
(
)
≤ α
(
)=
(
α
)(
)
α
F
u
lim inf
n
F
lim inf
n
F
,
→
∞
→
∞
u
n
u
n
u
n
(
+
)(
)
≤
(
)+
(
)
≤
(
+
)(
)
F
G
u
lim inf
n
F
lim inf
n
G
lim inf
n
F
G
.
→
∞
→
∞
→
∞
Zu 3.: Die Monotonie und dann die Unterhalbstetigkeit von
angewandt auf die defi-
nierende Eigenschaft der schwachen Unterhalbstetigkeit ergeben
ϕ
)
⇒ ϕ
F
)
≤ ϕ
lim inf
n
)
≤
ϕ
F
)
.
u
n
u
n
u
n
(
)
≤
(
(
(
(
F
u
lim inf
n
F
u
F
lim inf
n
→
∞
→
∞
→
∞
Zu 4.: Es folgt für
u
n
u
n
Φ(
)
Φ(
)
u
in
Y
sofort
u
in
X
und somit
F
Φ
(
)
≤
F
Φ
(
)
.
u
n
u
lim inf
n
→
∞
u
n
u
n
∈
∈
(
)
≤
(
)
Zu 5.: Für jedes
n
N
und
i
I
gilt
F
i
sup
i∈I
F
i
und somit auch
u
n
u
n
u
n
F
i
(
u
)
≤
lim inf
n
F
i
(
)
≤
lim inf
n
sup
i
F
i
(
)
⇒
sup
i
F
i
(
u
)
≤
lim inf
n
sup
i
F
i
(
)
→
∞
→
∞
→
∞
∈I
∈I
∈I
durch Supremumbildung.
Zu 6.: Nach Definition der schwachen Konvergenz ist
u
x
∗
,
u
→
X
∗
×X
stetig, d
ie
Aussage folgt daher aus Punkt 4.
Korollar 6.15
Ist
ϕ
:
[
0,
∞
[
→
R
monoton steigend und unterhalbstetig, so ist das Funktional F
(
u
)=
ϕ
(
X
)
u
schwach unterhalbstetig.
Beweis.
In einem Banach-Raum gilt
x
∗
,
u
X
=
x
∗
X
∗
≤
1
|
|
=
L
x
∗
,
|·|
(
)
u
sup
sup
x
∗
X
∗
≤
1
u
,
daher ist nach Lemma 6.14 Punkt 5 und 6 die Norm schwach unterhalbstetig. Die Au
s-
sage folgt dann aus Punkt 3 desselben Lemmas.
Beispiel 6.16
(Schwache Unterhalbstetigkeit für die Beispiele 6.1-6.4)
Wir haben nun alle Zutaten, um die schwache Unterhalbstetigkeit der Funktionale in
den einleitenden Beispielen leicht nachzuweisen.
1.
2
R
d
1
u
0
2
d
x
mit
1
2
x
2
Wir schreiben das Funktional
F
1
(
u
)=
|
−
u
|
ϕ
(
x
)=
und
u
0
als
Φ
(
u
)=
u
−
F
1
=
ϕ ◦·
L
2
◦
Φ
.
:
H
1
R
d
L
2
R
d
ab. Da die Einbettung
H
1
R
d
L
2
R
d
Dabei bildet
)
linear und stetig ist (was man sich leicht überlegen kann), ist sie auch schwach
folgenstetig (siehe Bemerkung 2.24) und folglich auch
Φ
(
)
→
(
)
(
)
→
(
, da nur noch um
u
0
Φ
ver-
schoben wird. Nach Korollar 6.15 ist die Komposition
ϕ
◦·
L
2
schwach unter-
halbstetig, also auch
F
1
nach Lemma 6.14 Punkt 4. Analog zeigt man die schwache
