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Damit argumentiert man:
Lemma 6.12
Ist X reflexiv und F
:
X
u
n
→
(
)
R
eigentlich und koerziv, so besitzt jede minimierende Folge
∞
für F eine schwach konvergente Teilfolge.
u
n
(
)
Beweis.
Aufgrund der Koerzivität von
F
muss jede minimierende Folge
beschränkt
sein. Andernfalls würde es eine Teilfolge geben (die wieder eine Minimalfolge ist), für
die die Funktionswerte von
F
gegen unendlich gehen. Das bedeutet, dass die Teilfol-
ge keine Minimalfolge ist, sich also ein Widerspruch ergibt. Folglich ist
u
n
in ein
er
abgeschlossenen Kugel enthalten, also in einer schwach folgenkompakten Menge.
(
)
Bemerkung 6.13
Folgendes Kriterium ist offensichtlich hinreichend für Koerzivität: Es existiert ein
R
≥
0
[
∞[
→
mit lim
t→
∞
ϕ
(
)=∞
und
ϕ
:
R
,
R
t
, so dass
∞
)
≥
ϕ
X
für
F
(
u
u
u
X
≥
R
.
Analoges gilt für starke Koerzivität, wenn lim
t→
∞
ϕ
(
)
= ∞
t
/
t
.
Man kann sich leicht überlegen, dass Koerzivität nicht notwendig für die Existenz
von Minimierern ist (Aufgabe 6.3). Starke Koerzivität ist ein Spezialfall von Koerzivität
und kann bei der Minimierung der Summe zweier Funktionale eine Rolle spielen.
Um nun die Argumentation der direkten Methode zum Ende zu führen, muss
F
schwach folgen-unterhalbstetig sein, also folgen-unterhalbstetig bezüglich der schwa-
chen Topologie. Damit lässt sich der dritte und letzte Schritt der direkten Methode
durchführen. Für den Nachweis der schwachen Folgen-Unterhalbstetigkeit (im Folgen-
den nur noch schwache Unterhalbstetigkeit genannt) ist es hilfreich, einige naheliegen-
de hinreichende Kriterien zur Hand zu haben:
Lemma 6.14
Es seien X
,
Y Banach-Räume und F
:
X
→
R
ein Funktional. Dann gilt:
∞
1.
Ist F schwach unterhalbstetig, dann ist es auch
α
F für
α
≥
0
.
→
+
2.
Sind F und G
:
X
R
schwach unterhalbstetig, dann ist es auch F
G.
∞
3.
Ist F schwach unterhalbstetig und
ϕ
:
R
∞
→
R
monoton steigend und unterhalbstetig,
∞
ϕ ◦
so ist
F schwach unterhalbstetig.
4.
Für
Φ
:
Y
→
X schwach folgenstetig und F schwach unterhalbstetig ist F
◦
Φ
schwach
unterhalbstetig.
→
∈
5.
Für eine beliebige nichtleere Familie F
i
:
X
R
,i
I, schwach unterhalbstetiger
∞
Funktionale ist das punktweise Supremum
sup
i∈I
F
i
stets schwach unterhalbstetig.
x
∗
,
·
X
∗
×
X
mit x
∗
∈
X
∗
und
Jedes Funktional der Form L
x
∗
,
ϕ
=
ϕ ◦
→
6.
ϕ
:
K
R
∞
unterhalbstetig ist schwach unterhalbstetig auf X.
