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Wir wollen diesen Sachverhalt für Topologien auf Banach-Räumen und unter Zuhil-
fenahme der Beispiele 6.1-6.4 ausführlich erläutern, da sich die meisten Anwendungen
in diesem Kontext befinden. Hat man also eine Minimierungsaufgabe im Banach-Raum
und wählt naheliegenderweise die starke Topologie auf einem Banach-Raum
X
,soist
die Forderung nach Kompaktheit unglücklicherweise eine recht starke Einschränkung.
Bemerkung 6.9
(Kompaktheit in den Beispielen 6.1- 6.4)
Für die Funktionale in (6.1), (6.3) und (6.5) ist es für eine allgemeine minimierende Folge
(
u
n
H
1
R
d
H
1
)
=
(
)
=
(Ω)
lediglich möglich, die Beschränktheit in
X
beziehungsweise
X
zu folgern. Für die Funktionale in (6.1) und (6.3) zum Beispiel gilt für ein
C
>
0 und alle
n
aufgrund der Wahl des Strafterms
2
λ
u
n
2
2
u
n
∇
≤
(
)
≤
F
C
,
u
n
was sofort die Beschränktheit der Folge
impliziert (Verschiebungen um konstante
Funktionen sind in den Beispielen nicht möglich). Man sieht auch leicht, dass selbst
die Berücksichtigung des Diskrepanzfunktionals keine wesentlich stärkeren Schlüsse
zulässt. In dieser Situation ist also keine Aussage über die (Prä-)Kompaktheit von
(
)
u
n
(
)
möglich, schließlich ist der Raum
H
1
R
d
(
)
unendlichdimensional. Für das Funktional
u
n
2
2
in (6.5) folgert man direkt
∇
≤
C
für eine minimierende Folge und schließt weiter
wie oben.
Was zunächst wie eine Sackgasse aussieht, hat eine naheliegende Lösung. Ein un-
endlichdimensionaler Banach-Raum
X
besitzt eine größere Auswahl an Mengen, die
kompakt in der schwachen Topologie sind. Insbesondere ist für reflexive Banach-
Räume, als Folgerung des Satzes von Eberlein-Šmulyan, jede beschränkte, schwach fol-
genabgeschlossene Menge auch schwach folgenkompakt. Für unsere Beispiele heißt das
folgendes:
Bemerkung 6.10
(Schwache Folgenkompaktheit in den Beispielen 6.1-6.4)
Der Raum
X
H
1
R
d
H
1
ist als Hilbert-Raum reflexiv und,
wie wir bereits in Bemerkung 6.9 gesehen haben, jede minimierende Folge für (6.1),
(6.3), (6.5) ist dort beschränkt. Folglich können wir stets eine Teilfolge wählen, die zu-
mindest schwach in
X
konvergiert.
=
(
)
beziehungsweise
X
=
(
Ω
)
Für den zweiten Schritt in der direkten Methode wird daher, im Falle von reflexiven
Banach-Räumen, häufig die schwache Topologie verwendet. In diesem Zusammenhang
ist folgender Begriff von Bedeutung, der ein relativ leicht nachzuprüfendes hinreichen-
des Kriterium für die Beschränktheit von Minimalfolgen darstellt.
Definition 6.11
(Koerzivität)
Es sei
X
ein Banach-Raum. Ein Funktional
F
:
X
→
R
wird
koerziv
genannt, falls stets
∞
u
n
u
n
(
)
→
∞
X
→
∞
F
wenn
.
u
n
u
n
Es ist darüber hinaus
stark koerziv
, falls sogar
F
(
)
/
X
→
∞
, immer dann, wenn
u
n
X
→
∞
.
