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Bemerkung 6.8
Ein Funktional
F
:
X
→
R
ist genau dann folgen-unterhalbstetig, wenn epi
F
folgen-
∞
×
abgeschlossen in
X
R
ist:
u
n
,
t
n
u
n
,
t
n
u
n
Für jede Folge
((
))
in epi
F
mit lim
n→
∞
(
)=(
u
,
t
)
gilt
F
(
)
≤
t
n
für jedes
n
und somit
u
n
(
)
≤
(
)
≤
=
⇒
(
)
∈
F
u
lim inf
n
F
lim inf
n
t
n
t
u
,
t
epi
F
.
→
∞
→
∞
u
n
u
n
u
n
k
(
)
=
(
)
Andersherum gibt es für jede Folge
in
X
mit lim
n→
∞
u
eine Teilfolge
,
u
n
u
n
so dass mit
t
n
=
F
(
)
gilt: lim
k→
∞
t
n
k
=
lim inf
n
→
∞
F
(
)
. Folglich ist
F
(
u
)
≤
u
n
(
)
lim inf
n→
∞
F
.
Damit lässt sich die direkte Methode folgendermaßen beschreiben.
Zu zeigen:
Das auf dem topologischen Raum
X
definierte eigentliche Funktional
F
:
X
→
R
∞
besitzt einen Minimierer
u
∗
, das heißt
u
∗
)=
F
(
inf
u
F
(
u
)=
min
u
F
(
u
)
.
∈X
∈X
Die direkte Methode:
1.
Stelle fest, dass
F
nach unten beschränkt ist, also inf
u∈X
F
(
u
)
> −
∞
. Es gibt daher
u
n
u
n
u
n
(
)
(
)
<
∞
(
)=
eine minimierende Folge
, also
F
für alle
n
und lim
n
→
∞
F
inf
u∈X
F
(
u
)
.
u
n
2.
Zeige, dass die Folge
in einer bezüglich der Topologie auf
X
folgenkompak-
ten Menge liegt. Aufgrund dessen existiert eine Teilfolge von
(
)
u
n
(
)
, bezeichnet mit
u
∗
, wieder bezüglich der Topo-
logie in
X
. Dieses
u
∗
ist ein „Kandidat“ für einen Minimierer.
u
n
k
, und ein
u
∗
∈
u
n
k
(
)
X
, so dass gilt: lim
k
→
∞
=
3.
Beweise die Folgen-Unterhalbstetigkeit von
F
bezüglich der Topologie in
X
. Dies
angewendet auf die obige Teilfolge ergibt
u
∗
)
≤
u
n
k
(
)
≤
(
(
)=
(
)
inf
u
F
u
F
lim inf
k
F
inf
u
F
u
,
∈
X
→
∞
∈
X
daher muss
u
∗
ein Minimierer sein.
Will man diese Methode nun für eine konkrete Minimierungsaufgabe anwenden, so
wird man mit einem offenen Punkt konfrontiert, nämlich die Wahl der Topologie auf
der Menge
X
. Während der erste Schritt von der Topologie unabhängig ist, spiegelt sie
sich in den darauf folgenden Schritten wider. In dem zweiten und dritten Beweisschritt
sind dabei konkurrierende Forderungen enthalten: In schwächeren Topologien gibt es
mehr konvergente Folgen und folglich auch mehr folgenkompakte Mengen. Im Gegen-
satz dazu muss das Funktional
F
die lim inf-Bedingung für mehr Folgen erfüllen und
demnach gibt es bei schwächeren Topologien weniger folgen-unterhalbstetige Funktio-
nale.
