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Ist
a
nun auch noch vom Ort abhängig, so bietet es sich an, den benutzten Differenzen-
quotienten an das Vorzeichen von
a
anzupassen:
u
j
+
a
j
h
(
u
j
+1
−
u
j
)
falls
a
j
≥
0
u
n
+1
j
=
u
j
+
a
j
h
(
u
j
−
u
j−
1
)
falls
a
j
≤
0
oder, kompakter
u
j
+
h
max
u
j−
1
)
.
u
n
+1
j
u
j
+1
−
u
j
)+
u
j
−
=
(
)(
(
)(
0,
a
j
min
0,
a
j
Diese Schema ist dann unter der Voraussetzung
|
h
≤
|
a
1
stabil. Da man sich hier an der Transportrichtung orientiert, also daran, wohin gehen
soll, nennt man das Schema auch
Upwind-Schema
(upwind: Englisch für windwärts).
Die Bedingung
|
h
≤
|
a
1 wird CFL-Bedingung genannt und geht auf Courant, Friedrichs
und Lewy zurück [45].
Anwendungsbeispiel 5.58
(Upwind-Verfahren in 2D: Verfahren nach Rouy-Tourin)
Wir wenden die Idee des Upwind-Verfahrens auf die zweidimensionale Dilatationsglei-
chung
=
|∇
|
=
(
∂
x
1
u
)
2
+(
∂
x
2
u
)
2
∂
t
u
u
an. Abhängig vom Vorzeichen von
∂
x
i
u
wählen wir die jeweilige Vorwärts- oder Rück-
wärtsdifferenz an. Konkret heißt das
max
0,
u
i
+1,
j
−
u
i−
1,
j
)
2
1
h
2
2
i
,
j
(
∂
x
1
u
)
≈
u
i
,
j
,
−
(
u
i
,
j
−
max
0,
u
i
,
j
+1
)
2
.
1
h
2
2
i
,
j
(
∂
x
2
u
)
≈
−
u
i
,
j
,
−
(
u
i
,
j
−
u
i
,
j−
1
Das daraus resultierende Verfahren ist unter dem Namen Rouy-Tourin-Verfahren be-
kannt [121]. Das Ergebnis der Anwendung ist in Abbildung 5.22 zu sehen. Es ist zu
bemerken, dass auch hier, wie bei der Methode der Charakteristiken aus Anwendungs-
beispiel 5.56 eine gewisse Unschärfe zu sehen ist. Dieses Phänomen nennt man
nume-
rische Viskosität
. Finite-Differenzen-Methoden mit weniger numerischer Viskosität wer-
den zum Beispiel in [20] vorgeschlagen.
Bemerkung 5.59
(Upwind-Methode nach Osher und Sethian)
In [106] wird eine andere Upwind-Methode vorgeschlagen:
h
2
max
2
1
2
i
,
j
2
(
∂
x
1
u
)
≈
(
−
)
+
(
−
)
0,
u
i
+1,
j
u
i
,
j
max
0,
u
i−
1,
j
u
i
,
j
h
2
max
2
.
1
2
i
,
j
2
(
∂
x
2
u
)
≈
(
0,
u
i
,
j
+
1
−
u
i
,
j
)
+
max
(
0,
u
i
,
j
−
1
−
u
i
,
j
)
Die Ergebnisse dieser Methoden sind dem Schema nach Rouy-Tourin sehr ähnlich und
sind daher nicht extra aufgeführt. Insbesondere ist auch numerische Viskosität zu be-
obachten.
