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Beispiel 5.57
(Stabilitätsuntersuchung im eindimensionalen Fall)
Auch hier betrachten wir vorerst wieder den eindimensionalen Fall
∂
t
u
+
a
∂
x
u
=
0,
u
(
0,
x
)=
u
0
(
x
)
.
Benutzen wir einen Vorwärtsdifferenzenquotienten in
t
-Richtung und einen zentralen
Differenzenquotienten in
x
-Richtung, so ergibt sich mit der Notation wie in Beispiel 5.49
das explizite Schema
a
2
h
(
u
n
+
1
j
u
j
+
u
j
+
1
−
u
j
−
1
)
=
.
(5.26)
Dass dieses Verfahren nicht sinnvoll ist, lässt sich mit der sogenannten „Von-Neumann-
Stabilitätsuntersuchung“ nachweisen. Dazu betrachten wir das Verfahren auf einem
endlichen Intervall mit periodischen Randbedingungen, d.h.
j
1, . . . ,
M
und
u
j
+
M
=
=
u
j
. Wir machen einen speziellen Ansatz für die Lösung, nämlich
v
j
=
ξ
n
e
i
kjπh
,
0
≤
k
≤
M
=
1/
h
,
ξ
∈
C
\{
0
}
.
Setzen wir dies in das Schema ein, so ergibt sich
a
2
h
n
e
i
k
(
j−
1)
πh
n
+1
e
i
kjπh
n
e
i
kjπh
n
e
i
k
(
j
+1)
πh
ξ
=
ξ
+
ξ
−
ξ
ξ
−n
e
−
i
kjπh
eine Gleichung für
und nach Multiplikation mit
ξ
:
i
a
h
sin
ξ
=
1
+
(
k
π
h
)
.
Dieses
ist betragsmäßig immer größer als eins, so dass für jede Lösung, die einen
Anteil
v
j
enthält, dieser Anteil exponentiell verstärkt wird. Dies widerspricht der Er-
kenntnis, dass die Lösung einfach transportiert wird und wir haben das Schema (5.26)
als instabil erkannt.
Betrachteten wir nun einen Vorwärtsdifferenzenquotienten für die
x
-Richtung, d.h.
das Schema
ξ
a
2
h
(
u
n
+1
j
u
j
+
u
j
+1
−
u
j
)
=
.
(5.27)
so ergibt sich analog zu obiger Rechnung
a
h
(
e
i
kjπh
ξ
=
1
+
−
1
)
.
a
h
≤
Hier sieht man, dass
|
ξ
|≤
1 für 0
≤
1 gilt. Da
τ
und
h
nicht negativ sind, haben
≥
wir also Stabilität nur im Fall
a
0 unter der Bedingung
a
h
≤
1.
Ebenso sieht man analog, dass bei einem Rückwärtsdifferenzenquotienten die Bedin-
gung
a
h
Stabilität garantiert. Wir haben also den Fall, dass wir für verschiedene
Vorzeichen von
a
, also der Transportrichtung, verschiedene Schemata benutzen müssen.
−
1
≤
