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2.
Es gibt Kurven, entlang derer die Lösung konstant ist. Diese sind gegeben als
Lösung der folgenden gewöhnlichen Differentialgleichung:
X
(
t
)=
a
,
X
(
0
)=
x
0
.
Diese Kurven werden
Charakteristiken
genannt.
Der erste Punkt ist ein Grund dafür, warum es oft schwierig ist, Verfahren die auf fini-
ten Differenzen basieren anzuwenden. Der zweite Punkt lässt sich zu einem einfachen
Verfahren ausbauen, der Methode der Charakteristiken.
Methode der Charakteristiken.
Wir beschreiben die Lösung einer Transportgleichung im
R
d
:
Lemma 5.54
Es sei a
:
R
d
R
d
Lipschitz-stetig, u
0
:
R
d
→
→
R
stetig und u eine Lösung des Cauchy-
Problems
+
·∇
=
∂
t
u
a
u
0
u
(
0,
x
)=
u
0
(
x
)
.
Ist weiterhin X eine Lösung des gewöhnlichen Anfangswertproblems
X
(
t
)=
a
,
X
(
0
)=
x
0
so gilt u
(
t
,
X
(
t
)) =
u
0
(
x
0
)
.
Beweis.
Wir betrachten
u
entlang der Lösungen
X
des Anfangswertproblems und leiten
nach
t
ab:
d
d
t
u
(
t
,
X
(
t
)) =
∂
t
u
(
t
,
X
(
t
)) +
a
·∇
u
(
t
,
X
(
t
)) =
0.
Wir schließen, dass
u
entlang von
X
konstant ist und erhalten im Punkt
t
=
0
u
(
0,
X
(
0
)) =
u
(
0,
x
0
)=
u
0
(
x
0
)
.
Auch hier nennt man die Kurven
X
die Charakteristiken der Gleichung. Für ein
bekanntes Vektorfeld
a
lässt sich die Transportgleichung lösen, in dem man die Cha-
rakteristiken ausrechnet, was der Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichungen
entspricht.
Anwendungsbeispiel 5.55
(Koordinatentransformationen)
Die Koordinatentransformation aus Beispiel 5.2 hat den infinitesimalen Generator
[
](
)=
(
)
·∇
(
)
A
u
x
v
x
u
x
(vgl. Aufgabe 5.6). Daher ist diese Skalenraumanalyse durch die Differentialgleichung
−
·∇
=
(
)=
(
)
∂
t
u
v
u
0,
u
0,
x
u
0
x
