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beschrieben. Diese Differentialgleichung lässt sich mit der Methode der Charakteristi-
ken lösen: Zu einem Punkt
x
0
berechne man die Lösung des gewöhnlichen Anfangs-
wertproblems
X
(
x
0
mit einer geeigneten Routine bis zum Zeitpunkt
T
. Hier bieten sich zum Beispiel
die Runge-Kutta-Verfahren an, siehe z.B. [70]. Ist
v
nur diskret gegeben, so muss
zur Auswertung von
v
gegebenenfalls interpoliert werden, vgl. Abschnitt 3.1.1. Setze
u
t
)=
v
(
X
(
t
))
,
X
(
0
)=
an den
Gitterpunkten zu erhalten). Mit dieser Methode sind die Bilder in Abbildung 5.1 er-
zeugt.
(
T
,
X
(
T
)) =
u
0
(
x
0
)
(wobei ggf. wieder interpoliert werden muss, um
u
(
T
,
·
)
Anwendungsbeispiel 5.56
(Erosion, Dilatation und Mittlerer Krümmungsfluss)
Die Gleichungen zu Erosion, Dilatation und zum Mittleren Krümmungsfluss kann man
als Transportgleichung interpretieren, vgl. Bemerkung 5.25 bzw. Abschnitt 5.2.2. Hierbei
ist das Vektorfeld
v
jedoch von
u
abhängig, d.h.
−
(
)
·∇
=
∂
t
u
v
u
u
0.
Die Methode der Charakteristiken aus Anwendungsbeispiel 5.55 lässt sich also nicht
direkt anwenden. Es lassen sich jedoch brauchbare Ergebnisse erzielen, wenn die Funk-
tion
u
zur Berechnung des Vektorfeldes
v
(
)
für eine Zeit „eingefroren“ wird. Am Bei-
spiel des Mittleren Krümmungsflusses sieht das wie folgt aus:
u
•
Berechne zu gegebenem Zeitpunkt
t
n
und zugehörigem Bild
u
(
t
n
,
x
)
das Vektor-
feld
)
∇
u
(
t
n
,
x
)
(
(
)) =
κ
(
v
u
t
n
,
x
t
n
,
x
.
|∇
(
)
|
u
t
n
,
x
Es gilt nach Aufgabe 5.9
(
∇
u
κ
=
|
)
div
.
|∇
u
)=
∇
u
(
t
n
,
x
)
|∇
Berechne also zuerst das Vektorfeld
ν
(
t
n
,
x
, z.B. durch finite Differen-
(
)
|
u
t
n
,
x
2
zen (vermeide Division durch Null, z.B. durch
|∇
u
(
t
n
,
x
)
|≈
|∇
u
(
t
n
,
x
)
|
+
ε
(
)=(
ν
)(
)
ν
(
)
mit kleinem
ε
). Berechne
v
t
n
x
div
t
n
,
x
t
n
,
x
, z.B. wiederum mit finiten
Differenzen.
•
Löse die Gleichung
∂
t
u
−
v
t
n
·∇
u
=
0
mit Anfangswert
u
T
mit nicht zu großem
T
mit der
Methode der Charakteristiken und gehe zum vorigen Schritt.
(
t
n
,
x
)
bis zur Zeit
t
n
+1
=
t
n
+
Mit dieser Methode wurden die Bilder in Abbildung 5.8 erzeugt.
Analog lässt sich das Verfahren auch auf die Gleichung zu Erosion und Dilatation
mit kreisförmigem Strukturelement
±|∇
|
=
∂
t
u
u
0
