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Die Gradienten an den ganzzahligen Stellen lassen sich durch finite Differenzen appro-
ximieren. Für die modifizierte Perona-Malik Gleichung ist
A
i±
2
,
j
=
g
(
|∇
u
σ
|
i±
2
,
j
)
.
1
1
Die Berechnung der Einträge von
A
ist also bis auf eine Vorglättung von
u
völlig analog.
Ist die Funktion
g
nicht negativ, so sind die Werte
A
i±
und
A
i
,
j±
nicht negativ und
1
2
,
j
1
2
Satz 5.50 ist anwendbar. Mit dieser Diskretisierung wurden die Bilder in Abbildung 5.10
erzeugt. Alternative Methoden zur Diskretisierung isotroper nichtlinearer Diffusion zu
diesem Zugang sind zum Beispiel in [144] und [111] beschrieben.
Bemerkung 5.53
(Anisotrope Gleichungen)
Im Falle von anisotroper Diffusion mit symmetrischen Diffusionstensor
BC
CD
A
=
treten beim Ausrechnen der Divergenz gemischte Ableitungen auf, im zweidimensio-
nalen Fall:
div
(
A
∇
u
)=
∂
x
1
(
B
∂
x
1
u
+
C
∂
x
2
u
)+
∂
x
2
(
C
∂
x
1
u
+
D
∂
x
2
u
)
.
Bilden wir nun die Matrix
A
ähnlich zu Gleichung (5.22) und (5.23) mittels finiter Diffe-
renzen, so ist es nicht ohne weiteres klar, wie die Nicht-Negativität der Elemente
A
i±
2
,
j
,
1
zu erreichen ist. In der Tat ist dies nicht-trivial und wir verweisen auf [141, Ab-
schnitt 3.4.2]. Eine Alternative zur Verwendung von finiten Differenzen ist die Benut-
zung von finiten Elementen. Hierfür verweisen wir zum Beispiel auf [49, 115].
A
i
,
j
±
1
2
5.4.2 Transportgleichungen
Transportgleichungen stellen eine besondere Herausforderung dar. Wir betrachten ein
sehr einfaches eindimensionales Beispiel einer Transportgleichung: Zu
a
=
0 betrachten
wir
∂
t
u
+
a
∂
x
u
=
0,
t
>
0,
x
∈
R
mit Anfangswert
u
. Wie man leicht nachrechnet ist die Lösung hierzu
einfach der Anfangswert, der mit Geschwindigkeit
a
transportiert wird:
(
0,
x
)=
u
0
(
x
)
u
(
t
,
x
)=
u
0
(
x
−
at
)
.
Dies ist aus zweierlei Hinsicht interessant:
1.
Die Lösungsformel ist für beliebige messbare Funktionen
u
0
, die weder stetig noch
differenzierbar sind, sinnvoll erklärbar. Es ist also in gewisser Weise vernünftig,
auch in diesem Fall von einer Lösung zu sprechen.
