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U
n
U
n
(
)
I
,
I
>
∑
J
=
I
|
(
)
I
,
J
|
Die Eigenschaft
R
R
nennt man „strenge Diagonaldominanz“.
U
n
U
n
)
−
1
Sie impliziert, dass
R
(
)
(
invertierbar ist und dass die inverse Matrix
R
nur
T
R
NM
die
nicht-negative Einträge hat (vgl. [70]). Außerdem gilt mit
e
=(
1,...,1
)
∈
U
n
U
n
U
n
)
−
1
e
(
)
=
(
)
(
=
Gleichung
R
e
e
woraus mit der Invertierbarkeit von
R
auch
R
e
folgt. Wir schließen
NM
J
=1
(
R
(
U
n
)
−
1
)
I
,
J
=
1.
Analog zum expliziten Fall schließen wir daraus die Erhaltung des mittleren Grauwer-
tes und aus der Nicht-Negativität von
R
)
−
1
U
n
(
NM
J
=1
(
R
(
U
n
NM
J
=1
(
R
(
U
n
U
n
+1
I
)
−
1
)
I
,
J
U
J
≤
U
K
)
−
1
U
K
=
max
K
)
I
,
J
=
max
K
=
1
woraus wiederum durch Rekursion die Behauptung folgt.
Bemerkung 5.51
(Schrittweitenbeschränkung und das AOS-Verfahren)
Die Schrittweitenbeschränkung für das explizite Verfahren bedeutet eine starke Ein-
schränkung. Will man eine Lösung zu einer großen Zeit
t
berechnen, so sind gegebe-
nenfalls sehr viele Iterationen nötig. Da die Matrix
A
dünn besetzt ist, ist jede Iteration
nicht sehr teuer (pro Zeile hat die Matrix nur fünf Einträge). Ist der Diffusionskoeffizi-
ent jedoch von
U
abhängig, so muss
A
für jede Iteration neu aufgestellt werden. Dies
kostet ebenfalls einige Zeit. Für das semi-implizite Verfahren gibt es keine Schrittwei-
tenbeschränkung, jedoch ist pro Iteration ein Gleichungssystem zu lösen. Dies kann,
wiederum auf Grund der Dünn-Besetztheit von
A
, mit einem iterativen Verfahren, wie
dem Gauß-Seidel-Verfahren geschehen (siehe, z.B. [70]). Leider ist es jedoch so, dass die-
se Verfahren für größere Schrittweiten
langsamer konvergieren, so dass der Vorteil des
semi-impliziten Verfahrens nicht sehr deutlich ist. Ein Ausweg aus diesem Problem bie-
ten die Methode der „additiven Operatoraufspaltung“ (AOS, siehe [141]). Hierbei wer-
den die Differenzen in
x
1
- und
x
2
-Richtung einzeln behandelt und gemittelt. Pro Iterati-
on müssen dann zwei tridiagonale lineare Gleichungssysteme gelöst werden, was sehr
effizient umsetzbar ist. Für die Details der Implementierung verweisen wir auf [141].
τ
Beispiel 5.52
(Perona-Malik und modifiziertes Perona-Malik)
Im Falle der Diffusion nach Perona-Malik ist
(
)=
(
|∇
|
)
A
u
g
u
id .
Für die Einträge von
A
gilt also
2
,
j
)
Den Betrag des Gradienten an den halbzahligen Stellen können wir zum Beispiel durch
lineare Interpolation der Beträge der Gradienten an den benachbarten ganzzahligen
Stellen errechnen, also z.B.
A
i±
2
,
j
=
g
(
|∇
u
|
i±
1
1
2
,
j
=
|∇
u
|
i
,
j
+
|∇
u
|
i
±
1,
j
|∇
u
|
i±
.
1
2
