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Weiterhin gilt unter den selben Voraussetzungen für das explizite und das semi-implizite Ver-
fahren
NM
J
=1
U
J
=
NM
J
=1
U
J
,
d.h., der mittlere Grauwert bleibt erhalten.
U
n
Beweis.
Wir betrachten zunächst die explizite Iteration (5.24) und setzen
Q
(
)=
/
h
2
A
U
n
. Damit lässt sich explizite Iteration als
U
n
+1
U
n
U
n
+
τ
(
)
=
(
)
id
Q
schreiben.
NM
J
U
n
U
n
Nach der Definition von
A
(
)
gilt
=1
A
(
)
I
,
J
=
0 für alle
I
(beachte Randbedin-
∑
=
gung
∂
ν
u
0!) und damit
NM
J
=1
Q
(
U
n
)
I
,
J
=
1.
An dieser Stelle folgt sofort die Erhaltung des mittleren Grauwertes, denn es gilt
NM
J
=1
U
n
+
1
NM
J
=1
NM
I
=1
Q
(
U
n
NM
I
=1
NM
J
=1
Q
(
U
n
NM
I
=1
U
I
,
)
I
,
J
U
I
=
)
I
,
J
U
I
=
=
J
woraus durch Rekursion die Behauptung folgt.
Weiterhin gilt für
I
U
n
U
n
=
J
auch
Q
(
)
I
,
J
=
A
(
)
I
,
J
≥
0. Auf der Diagonalen gilt
+
h
2
A
U
n
U
n
(
)
I
,
I
=
(
)
I
,
I
.
Q
1
U
n
U
n
Aus der Schrittweitenbeschränkung folgt
Q
(
)
I
,
I
≥
0, womit die Matrix
Q
(
)
kom-
ponentenweise nicht negativ ist. Wir folgern
NM
J
=1
Q
(
U
n
NM
J
=
1
Q
(
U
n
U
n
+1
I
)
I
,
J
U
J
≤
U
K
U
K
.
=
max
K
)
I
,
J
=
=
max
K
1
Analog zeigt man
U
n
+1
I
U
K
≥
min
K
woraus wiederum durch Rekursion das behauptete Maximumprinzip folgt.
Im semi-impliziten Fall schreiben wir
R
U
n
/
h
2
A
U
n
(
)=(
id
−
τ
(
))
womit die Iterati-
on zu
U
n
+1
U
n
)
−
1
U
n
wird. Für die Matrix
A
U
n
=
R
(
(
)
gilt nach Konstruktion
U
n
)
I
,
I
=
−
J
=
I
A
(
U
n
(
)
I
,
J
.
A
Es folgt
−
h
2
A
+
h
2
)
I
,
J
>
h
2
U
n
U
n
J
=
I
A
(
U
n
J
=
I
A
(
U
n
)
I
,
J
=
J
=
I
|
R
(
U
n
R
(
)
I
,
I
=
1
(
)
I
,
I
=
1
)
I
,
J
|
.
