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abhängen darf. In diesem Fall überträgt sich diese Abhängigkeit auf die Einträge von
A
und es ergibt sich das nichtlineare System
1
h
2
A
∂
t
U
=
(
)
U
U
.
Approximieren wir die Zeitableitung durch eine einfache Differenz, so bieten sich nun
drei Varianten an:
Explizit:
U
n
+
1
U
n
−
1
h
2
A
U
n
U
n
=
(
)
τ
Implizit:
U
n
+1
U
n
−
1
h
2
A
U
n
+1
U
n
+1
=
(
)
τ
Semi-Implizit:
U
n
+
1
U
n
−
1
h
2
A
U
n
U
n
+1
.
=
(
)
τ
Die implizite Variante führt auf ein nicht-lineares System von Gleichungen, welches im
Allgemeinen nicht geschlossen lösbar ist. Daher werden implizite Verfahren in dieser
Situation nicht eingesetzt. Das explizite Verfahren lässt sich als
+
h
2
A
U
n
+
1
U
n
U
n
=(
id
(
))
(5.24)
schreiben und benötigt daher eine Art diskrete Faltung pro Iterationsschritt. Das semi-
implizite Verfahren führt auf
−
h
2
A
U
n
U
n
+1
U
n
.
(
id
(
))
=
(5.25)
Dies ist ein lineares Gleichungssystem für
U
n
+
1
, d.h. ein Iterationsschritt benötigt die
Lösung eines solchen.
Wir befassen uns nun mit den Eigenschaften des expliziten und semi-impliziten Ver-
fahrens.
Satz 5.50
Es sei A
i±
U
n
2
,
j
≥
0
,A
i
,
j±
2
≥
0
und
A
(
)
entsprechend Gleichung
(5.23)
. Für das explizite
1
1
Verfahren
(5.24)
gelte die Schrittweitenbeschränkung
h
2
τ ≤
,
max
I
|
A
(
U
n
)
I
,
I
|
für das semi-implizite Verfahren
(5.25)
sei keine Beschränkung an
vorausgesetzt. Dann er-
füllen die Iterierten U
n
von
(5.24)
bzw.
(5.25)
das
diskrete Maximumprinzip
, d.h. es gilt für
alle I
τ
U
J
≤
U
I
≤
U
J
.
min
J
max
J
