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5.4 Numerische Lösung von partiellen Differentialgleichungen
Um mit den Gleichungen aus den vorhergehenden Abschnitten dieses Kapitels Bilder
zu produzieren, muss man diese lösen. In den wenigsten Fällen ist dies analytisch mög-
lich und daher ist man auf numerische Verfahren angewiesen. In der Bildverarbeitung
ist man in einer besonderen Situation:
•
Die Bilder sind typischerweise auf einem rechteckigen, äquidistanten Gitter gege-
ben und es sollen auch solche Bilder produziert werden. Es ist also vorerst natür-
lich, diese Gitter zu benutzen.
•
Die visuelle Qualität der Bilder ist oft wichtiger als das möglichst exakte Lösen
der Gleichung. Daher sind Verfahren mit niedriger Approximationsordnung ak-
zeptabel, wenn sie „gute Bilder“ produzieren.
•
Einige der vorgestellten partiellen Differentialgleichungen erhalten Unstetigkei-
ten oder erzeugen „Knicke“, wie zum Beispiel die Gleichungen zu Erosion und
Dilatation (5.12). Dies stellt eine besondere Herausforderung an die numerische
Methode dar, da die zu approximierenden Lösungen nicht differenzierbar sind.
Wir betrachten ein einleitendes Beispiel:
Beispiel 5.49
(Diskretisierung der Wärmeleitungsgleichung)
Auf einem rechteckigen Gebiet
R
2
Ω
⊂
möchten wir das folgende Rand-Anfangswert-
problem der Wärmeleitung lösen:
∂
t
u
=
Δ
u
in
[
0,
T
]
×
Ω
∂
ν
=
[
]
× ∂
Ω
u
0
auf
0,
T
(5.20)
u
0
.
(
)=
u
0
Unser Anfangsbild
u
0
M
Matrix. Wir gehen
davon aus, dass die Einträge der Matrix durch Abtasten des kontinuierlichen Bildes mit
Abtastrate
h
in
x
1
- bzw.
x
2
-Richtung entstanden sind. Wenn wir
u
0
etwas missbräuchlich
sowohl für das diskrete, als auch für das kontinuierliche Bild benutzen, so können wir
die Werte
u
i
,
j
als Werte
u
0
liegt in diskreter Form vor, d.h. als
N
×
((
−
)
(
−
)
)
interpretieren (die Verschiebung um 1 dient
dazu, die Indizes
i
,
j
bei Eins und nicht bei Null starten zu lassen). Wir kennen die Werte
von
u
0
i
1
h
,
j
1
h
also auf einem rechteckigen, äquidistanten Gitter folgender Form:
(
M
−
1
)
h
···
h
2
h
x
1
···
h
2
h
.
.
(
N
−
1
)
h
x
2
