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Mit der Zeitvariable gehen wir ähnlich vor und diskretisieren sie mit Schrittweite
τ
. Bezeichnen wir mit
u
eine Lösung des Rand-Anfangswertproblems (5.20), so suchen
wir also
u
i
,
j
als Approximation an
u
(
(
−
)
(
−
)
)
; es müssen also alle drei Glei-
chungen in (5.20) erfüllt sein. Die Anfangswertbedingung
u
n
τ
,
i
1
h
,
j
1
h
u
0
wird einfach durch
(
0
)=
die Forderung
u
i
,
j
=
u
0
((
i
−
1
)
h
,
(
j
−
1
)
h
)
erfüllt. Um die Differentialgleichung
=
Δ
u
zu erfüllen, ersetzen wir die Ableitungen
durch Differenzenquotienten. Den Laplace-Operator haben wir schon in Abschnitt 3.3.3
diskretisiert:
∂
t
u
((
+
)
)+
((
−
)
)+
(
(
+
)
)+
(
(
−
)
)
−
(
)
u
i
1
h
,
jh
u
i
1
h
,
jh
u
ih
,
j
1
h
u
ih
,
j
1
h
4
u
ih
,
jh
(
)
≈
Δ
u
ih
,
jh
.
h
2
Die Ableitung in Richtung
t
approximieren wir wie folgt durch einen Vorwärtsdifferen-
zenquotienten:
((
+
)
τ
)
−
(
)
u
n
1
,
ih
,
jh
u
n
τ
,
ih
,
jh
(
)
≈
∂
t
u
n
τ
,
ih
,
jh
.
τ
Für die diskretisierte Lösung der Differentialgleichung
u
i
,
j
bedeutet dies
u
n
+
1
i
,
j
u
i
,
j
u
i
+1,
j
+
u
i−
1,
j
+
u
i
,
j
+1
+
u
i
,
j−
1
−
4
u
i
,
j
−
=
.
(5.21)
h
2
τ
=
=
In den Punkten mit
i
1,
N
oder
j
1,
M
gibt es hier das Problem, dass Terme mit
i
=
0,
N
+
1 bzw.
j
=
0,
M
+
1 auftauchen, die nicht definiert sind. Dies wird gelöst in
dem wir die Randbedingung
0 einbeziehen. In diesem Beispiel ist das Gebiet ein
Rechteck und die Randbedingung ist in den Werten
i
∂
n
u
=
=
=
1,
M
zu berück-
sichtigen. Wir fügen die Hilfspunkte
u
0,
j
,
u
N
+
1,
j
,
u
i
,0
und
u
i
,
M
+
1
ein, ersetzen hier die
Ableitung durch einen zentralen Differenzenquotienten und erhalten
1,
N
und
j
u
0,
j
−
u
2,
j
u
N−
1,
j
−
u
N
+1,
j
=
=
0,
0,
2
h
2
h
u
i
,0
−
u
i
,2
u
i
,
M
−
1
−
u
i
,
M
+
1
=
0,
=
0.
2
h
2
h
Dies führt auf die Gleichungen
u
0,
j
=
u
2,
j
,
u
N
+1,
j
=
u
N−
1,
j
u
i
,0
=
u
i
,2
,
u
i
,
M
+1
=
u
i
,
M−
1
.
Die Randwerte werden also durch ein Spiegeln der Werte über den Rand realisiert. Die
diskretisierte Gleichung (5.21) hat also zum Beispiel für
i
=
1 die Form
u
n
+1
1,
j
u
1,
j
2
u
2,
j
+
u
1,
j
+
1
+
u
1,
j
−
1
−
4
u
1,
j
−
=
.
τ
h
2