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Mit der Zeitvariable gehen wir ähnlich vor und diskretisieren sie mit Schrittweite
τ
. Bezeichnen wir mit u eine Lösung des Rand-Anfangswertproblems (5.20), so suchen
wir also u i , j als Approximation an u
(
(
)
(
)
)
; es müssen also alle drei Glei-
chungen in (5.20) erfüllt sein. Die Anfangswertbedingung u
n
τ
,
i
1
h ,
j
1
h
u 0 wird einfach durch
(
0
)=
die Forderung
u i , j =
u 0
((
i
1
)
h ,
(
j
1
)
h
)
erfüllt. Um die Differentialgleichung
= Δ u zu erfüllen, ersetzen wir die Ableitungen
durch Differenzenquotienten. Den Laplace-Operator haben wir schon in Abschnitt 3.3.3
diskretisiert:
t u
((
+
)
)+
((
)
)+
(
(
+
)
)+
(
(
)
)
(
)
u
i
1
h , jh
u
i
1
h , jh
u
ih ,
j
1
h
u
ih ,
j
1
h
4 u
ih , jh
(
)
Δ
u
ih , jh
.
h 2
Die Ableitung in Richtung t approximieren wir wie folgt durch einen Vorwärtsdifferen-
zenquotienten:
((
+
) τ
)
(
)
u
n
1
, ih , jh
u
n
τ
, ih , jh
(
)
t u
n
τ
, ih , jh
.
τ
Für die diskretisierte Lösung der Differentialgleichung u i , j
bedeutet dies
u n + 1
i , j
u i , j
u i +1, j +
u i− 1, j +
u i , j +1 +
u i , j− 1
4 u i , j
=
.
(5.21)
h 2
τ
=
=
In den Punkten mit i
1, N oder j
1, M gibt es hier das Problem, dass Terme mit
i
=
0, N
+
1 bzw. j
=
0, M
+
1 auftauchen, die nicht definiert sind. Dies wird gelöst in
dem wir die Randbedingung
0 einbeziehen. In diesem Beispiel ist das Gebiet ein
Rechteck und die Randbedingung ist in den Werten i
n u
=
=
=
1, M zu berück-
sichtigen. Wir fügen die Hilfspunkte u 0, j , u N + 1, j , u i ,0 und u i , M + 1 ein, ersetzen hier die
Ableitung durch einen zentralen Differenzenquotienten und erhalten
1, N und j
u 0, j
u 2, j
u N− 1, j
u N +1, j
=
=
0,
0,
2 h
2 h
u i ,0
u i ,2
u i , M 1
u i , M + 1
=
0,
=
0.
2 h
2 h
Dies führt auf die Gleichungen
u 0, j =
u 2, j ,
u N +1, j =
u N− 1, j
u i ,0 =
u i ,2 ,
u i , M +1 =
u i , M− 1 .
Die Randwerte werden also durch ein Spiegeln der Werte über den Rand realisiert. Die
diskretisierte Gleichung (5.21) hat also zum Beispiel für i
=
1 die Form
u n +1
1, j
u 1, j
2 u 2, j +
u 1, j + 1 +
u 1, j 1
4 u 1, j
=
.
τ
h 2
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