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Die Abbildung
F
ist im Allgemeinen nicht elliptisch und daher steht die Theorie
der Viskositätslösungen in diesem Fall nicht zur Verfügung. Wir können die Gleichung
daher von nun an auf einem Gebiet
R
d
(in der Bildverarbeitung typischerweise ei-
nem Rechteck im
R
2
) betrachten. Hier müssen wir Randbedingungen stellen und erhal-
ten eine sogenannte
Rand-Anfangswertaufgabe
. (Auch Viskositätslösungen lassen sich für
Differentialgleichungen auf Gebieten betrachten, das Stellen von Randwerten ist jedoch
aufwändig.) Für die Rand-Anfangswertaufgabe der Perona-Malik-Gleichung kann man
ein Maximumprinzip zeigen:
Ω
⊂
Satz 5.29
Es sei
R
d
,u
0
L
2
Ω
⊂
∈
(
Ω
)
,g
:
[
0,
∞
[
→
[
0,
∞
[
stetig und u
:
[
0,
∞
[
×
Ω
→
R
eine Lösung
der Rand-Anfangswertaufgabe
∂
t
u
=
div
(
g
(
|∇
u
|
)
∇
u
)
in
[
0,
∞
[
×
Ω
=
[
∞[
× ∂
Ω
∂
ν
u
0
auf
0,
u
(
0,
x
)=
u
0
(
x
)
für x
∈
Ω
.
∈
[
∞]
Dann gilt für p
2,
, dass
(
·
)
p
≤
p
.
u
t
,
u
0
Weiterhin gilt
u
(
t
,
x
)
d
x
=
u
0
(
x
)
d
x
.
Ω
Ω
)=
Ω
|
p
d
x
und differenzieren
h
:
Beweis.
Für
p
<
∞
setzen wir
h
(
t
u
(
t
,
x
)
|
d
d
t
|
h
(
p
d
x
)=
(
)
|
t
u
t
,
x
Ω
p
−
2
u
=
|
(
)
|
(
)
∂
t
u
(
)
p
u
t
,
x
t
,
x
t
,
x
d
x
Ω
p
−
2
u
=
p
|
u
(
t
,
x
)
|
(
t
,
x
)
div
(
g
(
|∇
u
|
)
∇
u
)(
t
,
x
)
d
x
Ω
Nun wenden wir den Gaußschen Integralsatz 2.81 an und erhalten
p
−
2
u
p
|
u
(
t
,
x
)
|
(
t
,
x
)
div
(
g
(
|∇
u
|
)
∇
u
)(
t
,
x
)
d
x
=
Ω
−
−
p
2
u
d
1
|
(
)
|
(
)
(
|∇
(
)
|
)
∂
ν
u
(
)
p
u
t
,
x
t
,
x
g
u
t
,
x
t
,
x
d
H
∂
Ω
p
−
2
g
2
d
x
.
−
p
(
p
−
1
)
Ω
|
u
(
t
,
x
)
|
(
|∇
u
(
t
,
x
)
|
)
|∇
u
(
t
,
x
)
|
Das Randintegral ist auf Grund der Randbedingung Null und das weitere Integral ist
nicht-negativ. Es gilt also
h
(
)
≤
t
0, d.h. die Größe
h
ist monoton fallend, was die Be-
1/
p
hauptung für
p
<
∞
zeigt. Insbesondere ist die Größe
h
(
t
)
=
u
(
t
,
·
)
p
für alle
∈
[
∞[
= ∞
p
2,
monoton fallend. Der Fall
p
folgt durch Grenzübergang.
