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Lemma 5.26
Es gilt
g
(
|∇
|
)
u
u
T
2
u
div
(
g
(
|∇
u
|
)
∇
u
)=
∇
∇
∇
u
+
g
(
|∇
u
|
)
Δ
u
.
|∇
u
|
Die Perona-Malik-Gleichung hat also den infinitesimalen Generator
g
(
|
p
|
)
p
T
Xp
(
)=
+
(
|
|
)
F
p
,
X
g
p
trace
X
.
|
|
p
Beweis.
Dies sollten Sie in Aufgabe 5.10 selbst nachrechnen.
Bemerkung 5.27
Die Perona-Malik-Gleichung ist ein Beispiel für nichtlineare isotrope Diffusion, da der
Diffusionstensor aus einer Diagonalmatrix (bzw. einem Skalar) besteht. Die Zerlegung
aus Lemma 5.26 zeigt, dass sich die Diffusion in Richtung
und orthogonal dazu ver-
schieden verhält. Einige Autoren nennen daher auch die Perona-Malik-Gleichung ani-
sotrop.
η
Die Funktion
F
ist im Falle der Funktionen
g
1
und
g
2
aus (5.14) nicht elliptisch. An
dieser Stelle stoßen wir auf das Problem, dass wir nicht ohne Weiteres zeigen können,
dass die Perona-Malik-Gleichung Lösungen hat. Man kann sogar zeigen, dass es für
gewisse Anfangsbedingungen keine Lösungen gibt [82, 85]. Der Grund dafür ist, grob
gesprochen, dass die Gradienten nicht unbedingt beschränkt sein müssen und dann der
Diffusionskoeffizient gegen Null geht. Mit etwas Erfahrung in parabolischen Differen-
tialgleichungen erkennt man, dass das Probleme für die Existenz von Lösungen gibt.
Vorerst lassen wir dieses Problem beiseite und nehmen an, dass die Perona-Malik-
Gleichung Lösungen hat.
Satz 5.28
Das Perona-Malik-Verfahren erfüllt die Axiome [REC], [GLSI], [TRANS], [ISO]. Das Axiom
[SCALE] gilt, falls g ein Monom ist.
T
t
Lösungsoperatoren einer
Differentialgleichung sind und daher die geforderte Halbgruppeneigenschaft haben.
Für die Grauwertverschiebungsinvarianz [GLSI] bemerken wir: Löst
u
die Diffe-
rentialgleichung (5.15), so löst
u
Beweis.
Die Rekursivität [REC] ist erfüllt, da die Operatoren
+
c
die gleiche Differentialgleichung mit Anfangswert
(
)+
T
t
(
+
)=
T
t
(
)+
u
0
c
wie gefordert. (Anders gesagt: Der Differen-
tialoperator ist invariant gegenüber linearer Grauwertverschiebung).
Die Translationsinvarianz [TRANS] und die Isometrieinvarianz [ISO] sieht man ana-
log (der Differentialoperator ist invariant gegenüber Translationen und Rotationen).
Ist
g
ein Monom, d.h.
g
x
c
. Also gilt
u
0
c
u
0
s
p
so gilt mit
v
(
s
)=
(
t
,
x
)=
u
(
t
,
λ
x
)
:
p
div
(
g
(
|∇
v
|
)
∇
v
)(
x
)=
|
λ
|
λ
div
(
g
(
|∇
u
|
)
∇
u
)(
λ
x
)
.
D.h. mit
t
=
p
(
|λ|
λ
)
t
/
gilt
T
t
(
u
0
(
λ
·
)) = (
T
t
u
0
)(
λ
·
)
wie gefordert.
