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f
1
f
2
s
s
λ
λ
Abbildung 5.11.
Fluss-Funktionen
f
1
und
f
2
aus (5.16) zu dem Funktionen
g
1
und
g
2
aus (5.14).
Für die zweite Behauptung verfahren wir analog und differenzieren die Funktion
)=
Ω
μ
(
t
u
(
t
,
x
)
d
x
nach
t
und wenden erneut den Gaußschen Integralsatz 2.81 an:
μ
(
)=
(
)
t
Ω
∂
t
u
t
,
x
d
x
=
1
·
div
(
g
(
|∇
u
|
)
∇
u
)(
t
,
x
)
d
x
Ω
)
·
g
)
d
x
.
−
d
1
=
g
(
|∇
u
(
t
,
x
)
|
)
∂
ν
u
(
t
,
x
)
d
H
−
Ω
(
∇
1
(
|∇
u
(
t
,
x
)
|
)
∇
u
(
t
,
x
∂
Ω
Hier sind beide Terme null, und es folgt die Behauptung.
Die Tatsache, dass für Lösungen der Perona-Malik-Gleichung die Norm
·
∞
ab-
nimmt nennt man auch
Maximumprinzip
.
Wir untersuchen nun die Perona-Malik-Gleichung in lokalen Koordinaten. Mit
η
=
∇
|∇
|
u
/
u
gilt nach Lemma 5.26
g
(
|∇
(
(
|∇
|
)
∇
)=
|
)
|∇
|∂
ηη
u
+
(
|∇
|
)Δ
div
g
u
u
u
u
g
u
u
g
(
|∇
=(
u
|
)
|∇
u
|
+
g
(
|∇
u
|
))
∂
ηη
u
+
g
(
|∇
u
|
)(
Δ
u
−
∂
ηη
u
)
Wir haben also den Operator div
in einen Teil senkrecht zu den Level-
Linien und einen Teil tangential zu den Level-Linien zerlegt. Der Teil tangential zu den
Level-Linien ist
g
(
g
(
|∇
u
|
)
∇
u
)
(
|∇
u
|
)(
Δ
u
−
∂
ηη
u
)
und hat einen positiven Koeffizienten
g
(
|∇
u
|
)
. Der
(
)=
(
)
Teil senkrecht zu den Level-Linien lässt sich mit Hilfe der Fluss-Funktion
f
s
sg
s
schreiben als
f
(
|∇
u
|
)
∂
ηη
u
. Die Fluss-Funktionen zu den
g
's aus (5.14) lauten
s
2
2
s
s
e
−
(
)=
(
)=
f
1
s
,
f
2
s
2
,
(5.16)
λ
s
2
λ
1
+
2
siehe Abbildung 5.11. In beiden Fällen ist
f
(
. Wir halten fest: An
Stellen mit großem Gradienten (also an potentiellen Kanten) verhält sich die Diffusion
nach Perona-Malik in Richtung
s
)
negativ für
s
>
λ
wie eine
Rückwärtsdiffusion
. In Richtung tangential zu
den Level-Linie ist der Koeffizient
g
η
(
|∇
|
)
für große Gradienten klein und die Diffusion
langsam. Man kann also dreierlei vermuten:
•
u
Die Perona-Malik-Gleichung kann Kanten steiler (also schärfer) machen.
•
Die Perona-Malik-Gleichung ist instabil, da es sich teilweise um eine Rückwärts-
diffusion handelt.
•
An steilen Kanten wird das Rauschen nicht sehr gut entfernt.
