Image Processing Reference
In-Depth Information
Beweis.
Wir bemerken vorweg, dass wir in Schritt 2 des Beweises von Satz 5.19 gesehen
haben, dass aus [ISO] folgt, dass für jede Isometrie
R
R
d×d
gilt
∈
R
T
p
,
R
T
XR
(
)=
(
)
∗
F
p
,
X
F
.
(
)
1.
Wir fixieren
p
und nehmen eine Isometrie, welche
p
invariant lässt, d.h.
Rp
=
p
und
R
T
p
=
∗
p
. Mit Lemma 5.22 und (
) folgt
R
T
p
,
R
T
Q
p
XQ
p
R
p
,
R
T
Q
p
XQ
p
R
F
(
p
,
X
)=
F
(
p
,
Q
p
XQ
p
)=
F
(
)=
F
(
)
.
Die Funktion
F
kann also nur von den Eigenwerten von
Q
p
XQ
p
auf dem Raum
senkrecht zu
p
abhängen. Da
p
Eigenvektor von
Q
p
zum Eigenwert Null ist, gibt
es eine Funktion
G
, so dass
F
(
p
,
X
)=
G
(
p
,
λ
1
,...,
λ
d
−
1
)
.
R
T
p
. Dann gilt auch
2.
Wir nehmen nun eine allgemeine Isometrie
R
und setzen
q
=
Rq
=
p
und
|
p
|
=
|
q
|
. Es gilt folgende Vertauschungsrelation:
qq
T
|q|
=
(
−
)
RQ
q
R
id
2
pq
T
|
=
R
−
2
q
|
pp
T
|p|
=(
−
)
=
id
R
Q
p
R
.
2
Es folgt
Q
q
R
T
XRQ
q
R
T
Q
p
XQ
p
R
und wir sehen, dass
Q
q
R
T
XRQ
q
und
Q
p
XQ
p
die gleichen Eigenwerte haben. Es folgt also nach (
=
∗
) und dem ersten Punkt
R
T
p
,
G
(
p
,
λ
1
,...,
λ
d−
1
)=
G
(
λ
1
,...,
λ
d−
1
)
.
Also hängt
G
nur vom Betrag von
p
ab, was zu zeigen war.
Um die Konsequenzen des Axioms [GSI] genauer zu verstehen, schauen wir uns
Beispiele an:
Die Gleichungen für Erosion und Dilatation.
Wir betrachten als Strukturelement den Ein-
R
d
und die zugehörigen Skalenraumanalysen zur Erosion und Dila-
(
)
⊂
heitsball
B
1
0
tation:
E
t
u
0
=
u
0
tB
D
t
u
0
=
u
0
⊕
tB
.
Die infinitesimalen Generatoren sind in diesem Fall
F
(
p
,
X
)=
−|
p
|
für die Erosion und
F
(
p
,
X
)=
|
p
|
für die Dilatation.
Die zugehörigen Differentialgleichungen lauten also:
∂
t
u
=
−|∇
u
|
für die Erosion
(5.12)
=
|∇
|
∂
t
u
u
für die Dilatation.
