Partielle Differentialgleichungen in der Bildverarbeitung - Mathematische Bildverarbeitung - page 191

Nach Satz 5.15 ist es jetzt sofort klar, dass diese Differentialgleichungen durch Erosion
und Dilatation im Viskositätssinne gelöst werden. Da Erosion und Dilatation im Allge-
meinen nicht-differenzierbare Funktionen liefern, kann man ohne die Theorie der Vis-
kositätslösungen hier sonst nicht von Lösungen sprechen.

Bemerkung 5.25 (Interpretation als Transportgleichung)
Um die Lösungen der Gleichungen qualitativ zu verstehen, interpretieren wir sie als
Transportgleichungen . Exemplarisch gilt für den infinitesimalen Generator der Dilatation:

| = ∇u |∇

u

|∇u| ·∇

u .

Wir erinnern uns, dass die Gleichung ∂ t u

=

v

·∇

u mit dem Anfangswert u

(

0

)=

u 0 die

Lösung u v

transportiert. Analog kann man sagen, dass bei Erosion und Dilatation der Anfangswert
in Richtung des negativen Gradienten transportiert wird. Die Geschwindigkeit ist dabei
−

(

t , x

)=

u 0

(

x

+

tv

)

hat. Das heißt, der Anfangswert u 0 wird in Richtung

−

1, bzw. 1. Man kann also beide Beispiele auch durch die Bewegungen der Level-Set
beschreiben und verstehen. Bei der Dilatation werden die Level-Linien in Richtung des
negativen Gradienten verschoben. Die zugehörige Gleichung nennt man auch Grassfire-
Gleichung , da sich die Level-Linien wie die Konturen eines Buschfeuers verschieben; die
hellen Bereiche breiten sich aus. Für die Erosion analog: die dunklen Bereiche breiten
sich gleichmäßig in alle Richtungen aus.

Der Mittlere Krümmungsfluss. Eine andere wichtige kontrastinvariante Skalenraum-
analyse ist gegeben durch den Generator

F

(

p , X

)=

trace

(

Q p X

)

. (5.13)

= =

Da Q Q p ist und außerdem Q p p 0 gilt, folgt

μ p

pp T F

( μ

p , μ X

+ λ

p

⊗

p

)=

trace

(

Q

( μ

X

+ λ )) = μ

trace

(

Q p X

)= μ

F

(

p , X

)

.

μ p

Die geforderte Invarianz aus Lemma 5.22 ist also erfüllt. Der zu F gehörige Differential-
operator ist

trace

2 u . 2 u

− ∇ u ⊗∇ u
|∇

F

( ∇

u ,

∇ )= (

id

) ∇

|

2

u

u T , die Linearität Um diese Größe genauer zu verstehen benutzen wir

∇

u

⊗∇

u

= ∇

u

∇

( )= ( )

der Spur und die Formel trace ABC trace CAB (Invarianz bezüglich zyklischen

Vertauschungen, falls die Dimensionen passen):

2 u 1

|∇

u T

2 u

F

( ∇

u ,

∇ )= Δ

u

−

2 trace

( ∇

u

∇ ∇ )

|

u

1
|∇u|

u T

2 u 1

|∇u|

u T

2 u

= Δ − ( ∇ ∇ ∇ )=Δ − ∇ ∇ ∇

u

2 trace

u u u .

2

Diese Größe können wir mit Hilfe von sogenannten lokalen Koordinaten besser beschrei-
ben. Wir definieren

η = ∇

u

|∇

u

|