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=
Beweis.
Da
X
unabhängig von
p
0 gewählt werden kann, beweisen wir die Aussage
zunächst für den Spezialfall
p
=
ce
d
mit
e
d
=(
0,...,0,1
)
den
d
-ten Einheitsvektor und
=
c
0. In diesem Fall ist
⎛
⎝
⎞
⎠
⎛
⎝
⎞
⎠
0. . .
00
1
.
.
.
.
.
.
c
2
⊗
=
=
p
p
,
Q
p
.
0. . .
00
1
0. . .
01
0
(
·
)
Insbesondere folgt aus Lemma 5.22, dass
F
p
,
nicht vom Eintrag
X
d
,
d
abhängen kann.
Bleibt zu zeigen, dass auch die Einträge
X
d
,
i
mit 1
≤
i
≤
d
−
1 keine Rolle spielen
x
d
,1
+
...
x
d
,
d−
1
=
können. Dazu definieren wir
M
und setzen
⎛
⎝
⎞
⎠
ε
.
.
.
ε
=
I
.
ε
M
ε
In Aufgabe 5.8 zeigen Sie, dass
+
Q
p
XQ
p
X
I
ε
X
Q
p
XQ
p
+
I
.
ε
Aus [COMP] folgt die Elliptizität von
F
.Da
F
nicht vom Eintrag
X
d
,
d
abhängt, gilt ei-
nerseits
F
(
p
,
Q
p
XQ
p
)
≤
F
(
p
,
X
+
I
ε
)=
F
(
p
,
X
+
ε
id
)
und andererseits
F
(
p
,
X
)
≤
F
(
p
,
Q
p
XQ
p
+
I
ε
)=
F
(
p
,
Q
p
XQ
p
+
ε
id
)
.
Lassen wir in beiden Ungleichungen
ε
gegen 0 streben, erhalten wir, wie behauptet
(
)=
(
)
F
p
,
X
F
p
,
Q
p
XQ
p
.
Der allgemeine Fall
p
0 folgt nun durch analoge Argumentation und mit einem o
r-
thonormalen Koordinatenwechsel, der
p
auf ein Vielfaches von
e
d
abbildet.
Die Matrix
Q
p
XQ
p
bildet
p
auf Null ab und lässt den Raum senkrecht zu
p
invariant.
Da
Q
p
XQ
p
außerdem symmetrisch ist, ist ein Eigenwert Null und die anderen
d
=
1 sind
ebenfalls reell. Nehmen wir nun noch das Axiom [ISO] hinzu, so erhalten wir, dass der
infinitesimale Generator nur vom Betrag von
p
und den Eigenwerten abhängen kann:
−
Satz 5.24
Es gelte zusätzlich zu den Voraussetzungen von Satz 5.23 auch noch [ISO]. Für p
R
d
∈
\{
0
}
S
d×d
hat die Matrix Q
p
XQ
p
einen Eigenwert Null (zum Eigenvektor p), die anderen
bezeichnen wir mit
∈
und X
λ
1
,...,
λ
d−
1
. Dann gilt
F
λ
d−
1
)
Außerdem ist F
1
in den Eigenwerten symmetrisch und nicht-fallend.
(
)=
(
|
|
p
,
X
F
1
p
,
λ
1
,...,
