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η
w
ε
|
x
−
x
0
|
|
x
−
x
0
|
m
ε
σε
m
ε
Abbildung 5.6.
Schematische Veranschaulichung der im Beweis von Satz 5.11 verwendeten Hilfsfunktionen
η
und
w
ε
.
Bleiben noch die Stetigkeit von
F
und Elliptizität von
F
in der letzten Komponente zu
zeigen. Letzteres folgt aus analogen Überlegungen: Konstruiere, mit dem
w
aus (5.10),
die Funktionen
)=
c
)
w
1
2
T
X
(
+
·
(
−
)+
(
−
)
(
−
(
)
u
x
p
x
x
0
x
x
0
x
x
0
x
,
)=
c
)
w
1
2
T
Y
(
+
·
(
−
)+
(
−
)
(
−
(
)
v
x
p
x
x
0
x
x
0
x
x
0
x
,
welche offensichtlich die Relation
u
≥
v
erfüllen. Weiterhin gilt
u
(
x
0
)=
v
(
x
0
)
,
2
u
2
v
∇
u
(
x
0
)=
∇
v
(
x
0
)
sowie
∇
(
x
0
)=
X
,
∇
(
x
0
)=
Y
. Daher ist nach [COMP] auch
T
t
u
≥T
t
v
für
t
→
0 und man kann folgern:
0
(
T
t
u
−
u
)(
x
0
)
0
(
T
t
v
−
v
)(
x
0
)
F
(
x
0
,
c
,
p
,
X
)=
lim
t
≥
lim
t
=
F
(
x
0
,
c
,
p
,
Y
)
.
t
t
→
→
Die Stetigkeit von
F
lässt sich analog einsehen: Hat man Folgen
x
n
→
x
0
,
c
n
→
c
,
p
n
→
p
→
und
X
n
X
, so konvergiert
)=
c
n
+
)
w
1
2
T
X
n
(
x
p
n
·
(
x
−
x
n
)+
(
x
−
x
n
)
(
x
−
x
n
(
x
)
u
n
sowie alle partiellen Ableitungen gleichmäßig gegen
)=
c
)
w
1
2
T
X
(
+
·
(
−
)+
(
−
)
(
−
(
)
u
x
p
x
x
0
x
x
0
x
x
0
x
und nach der Aussage des Satzes 5.9 auch
A
[
u
n
]
→
A
[
u
]
gleichmäßig. Insbesondere
also
(
)=
[
](
)
→
[
](
)=
(
)
F
x
n
,
c
n
,
p
n
,
X
n
A
u
n
x
n
A
u
x
0
F
x
0
,
c
,
p
,
X
.
Bemerkung 5.12
Anhand des Beweises ist erkennbar, warum es sich um einen Differentialoperator
2. Ordnung handeln muss. In einer punktierten Umgebung von 0 ist das im Beweis
benötigte
ein positives Polynom 2. Grades. Nun würde es jedes positive Polynom
höheren Grades auch tun, allerdings auch Abhängigkeiten von höheren Ableitungen
implizieren. Andererseits gibt es kein Polynom 1. Grades, welches in einer punktierten
Nullumgebung strikt positiv ist. Der Grad 2 ist also der kleinste Polynomgrad, für den
die Argumentation gültig ist, daher Differentialgleichungen 2. Ordnung.
η
