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Der nächste Schritt besteht aus der Feststellung, dass sich der Operator
A
als (dege-
nerierter) elliptischer Differentialoperator zweiter Ordnung schreiben lässt.
Definition 5.10
Bezeichne mit
S
d×d
den Raum der symmetrischen
d
×
d
-Matrizen. Wir schreiben
X
−
Y
positiv semi-definit. Eine Funktion
f
:
S
d
×
d
Y
0 oder auch
X
Y
, falls
X
−
→
R
(
)
≥
(
)
=
heißt
elliptisch
, falls
f
X
f
Y
wenn
X
Y
. Gilt für
X
Y
mit
X
Y
sogar
f
(
X
)
>
f
(
Y
)
, so heißt
f strikt elliptisch
, ansonsten
degeneriert elliptisch
.
Satz 5.11
Es sei
(
T
t
)
t≥
0
eine Skalenraumanalyse, die die Axiome [GEN], [COMP] und [LOC] erfüllt.
Dann existiert eine stetige Funktion F
:
R
d
S
d
×
d
R
d
×
R
×
×
→
R
, so dass F
(
x
,
c
,
p
,
·
)
für
R
d
R
d
elliptisch ist und
alle
(
)
∈
×
×
x
,
c
,
p
R
F
x
,
u
)
2
u
[
](
)=
(
)
∇
(
)
∇
(
A
u
x
x
,
u
x
,
x
∈C
b
R
d
R
d
.
für jedes u
(
)
und x
∈
[
](
)=
[
](
)
Beweis.
Aus [LOC] und der Definition von
A
folgt unmittelbar, dass
A
u
x
A
v
x
∂
α
u
)=
∂
α
v
N
d
. Wir zeigen, dass dies schon gilt, falls
u
falls
(
x
(
x
)
für alle
α
∈
(
x
)=
v
(
x
)
,
2
u
2
v
R
d
und
u
,
v
mit
u
∇
u
(
x
)=
∇
v
(
x
)
sowie
∇
(
x
)=
∇
(
x
)
: Wir betrachten
x
0
∈
(
x
0
)=
(
)=
v
x
0
c
, und
2
u
2
v
∇
(
)=
∇
(
)=
∇
(
)=
∇
(
)=
u
x
0
v
x
0
p
,
x
0
x
0
X
.
η
∈C
b
R
d
2
in einer Umgebung von
x
0
und es eine
Konstruiere
(
)
, so dass
η
(
x
)=
|
x
−
x
0
|
Konstante
m
>
0 gibt mit
u
ε
=
u
+
εη
≥
v
auf
B
mε
(
x
0
)
(siehe auch Abbildung 5.6). So
2
ein
η
existiert, da
v
−
u
=
o
(
|
x
−
x
0
|
)
für
|
x
−
x
0
|→
0 aufgrund der Übereinstimmung
der Ableitungen.
Weiterhin wähle ein
w
∈D
(
B
m
(
x
0
))
mit
w
≥
0,
w
=
1 auf
B
σ
(
x
0
)
(5.10)
ε
(
x
)=
w
((
x
−
x
0
)
/
ε
+
x
0
)
(siehe Abbildung 5.6) die Funktionen
und konstruiere aus
w
)+
1
)
v
u
ε
(
)=
ε
(
)
ε
(
−
ε
(
(
)
x
w
x
u
x
w
x
x
.
∂
α
u
)=
∂
α
u
N
d
sowie
u
Diese haben die Eigenschaft, dass
ε
(
x
ε
(
x
)
für alle
α
∈
ε
(
x
)
≥
v
(
x
)
auf ganz
R
d
. Damit folgt, wegen [COMP],
T
t
u
ε
(
)
≥T
t
v
(
)
x
0
x
0
und wegen der Monoto-
nie des Grenzwerts auch
A
,
aufgrund der Konstruktion von
w
und wieder nach [LOC]. Die Stetigkeit von
A
liefert
schließlich
[
u
ε
](
x
0
)
≥
A
[
v
](
x
0
)
. Außerdem ist
A
[
u
ε
](
x
0
)=
A
[
u
ε
](
x
0
)
lim
ε→
A
[
u
ε
](
x
0
)=
A
[
u
](
x
0
)
0
[
](
)
≥
[
](
)
und
A
u
x
0
A
v
x
0
. Da dieser Schluss symmetrisch durchgeführt werden kann,
gilt
A
[
u
](
x
0
)=
A
[
v
](
x
0
)
. Daher muss gelten:
F
x
,
u
)
.
2
u
[
](
)=
(
)
∇
(
)
∇
(
A
u
x
x
,
u
x
,
x
