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Existenz eines infinitesimalen Generators:
C
b
R
d
R
d
Es existiert ein A
:
(
)
→BUC
(
)
so dass
[GEN]
0
T
t
u
−
u
gleichmäßig auf
R
d
.
A
[
u
]=
lim
t
t
→
∂
α
u
n
→
∂
α
u gleichmäßig auf
R
d
für alle
Der Operator A ist stetig im folgenden Sinne: Falls
N
d
, dann auch A
gleichmäßig auf
R
d
.
α ∈
[
]
→
[
]
u
n
A
u
Beweis.
Wir präsentieren hier nur eine Skizze des Beweises, Details lassen sich in der
Originalarbeit [4] nachlesen.
Bezeichne mit
δ
t
(
v
)=(
T
t
v
−
v
)
/
t
, so dass aus [REG] folgt:
1
t
T
t
(
δ
t
(
+
)
− δ
t
(
)
∞
=
+
)
−
−
−T
t
(
)+
∞
u
hv
u
u
hv
u
hv
u
u
1
t
T
(5.9)
=
(
u
+
hv
)
−T
(
u
)
−
hv
∞
t
t
≤
C
(
u
,
v
)
h
.
T
t
(
)=
=
=
=
Benutzt man, dass
0
0 nach [GLSI] und setzt
v
u
,
u
0 und
h
1in[REG],so
folgt
1
t
T
t
(
δ
t
(
)
∞
=
+
)
−T
t
(
)
−
∞
≤
(
)
u
0
1
u
0
1
u
C
u
,
R
d
(
)
→
BC
(
)
δ
t
u
bildet also für
t
0 eine beschränkte Folge in
.
Im nächsten Schritt ist zu zeigen, dass
δ
t
(
u
)
einen Grenzwert für
t
→
0 hat. Dafür
(
)
zeigt man die Lipschitz-Stetigkeit jedes
δ
t
u
mit einer Lipschitz-Konstante, die unab-
hängig von
t
für
t
→
0 ist. Wähle
|
y
|
=
1,
h
∈
[
0, 1
]
und bemerke dazu, dass aufgrund
)=
T
t
u
)
(
von [TRANS] gilt:
(
T
t
u
)(
x
+
hy
(
·
+
hy
x
)
. Weiterhin ist
h
1
u
(
+
)=
(
)+
0
∇
(
+
)
·
=
(
)+
(
)
x
hy
u
x
u
x
shy
y
d
s
u
x
hv
h
x
∈C
b
R
d
→
(
)
wobei für
h
sind. Weiterhin lässt sich leicht sehen,
dass alle
v
h
in einem geeigneten
Q
nach (5.8) enthalten sind. Die Abschätzung (5.9)
liefert also die gewünschte Lipschitz-Ungleichung
δ
t
(
0 die Funktionen
v
h
)
(
·
+
u
hy
)
−
δ
t
(
u
)
∞
=
δ
t
(
u
+
hv
h
)
−
δ
t
(
u
)
∞
≤
Ch
wobei, nach Voraussetzung, die Konstante
C
nicht von
v
h
abhängt.
Mit dem bekannten Kompaktheitssatz von Arzelà und Ascoli folgt dann die Existenz
einer konvergenten Teilfolge von
{δ
t
n
(
)
}
→
u
für
t
n
0. Der Operator
A
kann dann als
Grenzwert definiert werden:
A
, sofern er denn eindeutig ist. Dafür ist
die Konvergenz der gesamten Folge nachzuweisen, was jedoch mit mehr technischen
Aufwand verbunden ist. An dieser Stelle sei auf die Originalarbeit verwiesen, die auch
einen ausführlichen Beweis der oben behaupteten gleichmäßigen Konvergenz
A
[
u
]=
lim
t→
0
δ
t
(
u
)
[
u
n
]
→
[
]
A
u
enthält.
