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Wie in Beispiel 5.4 gesehen, erfüllt die Skalenraumanalyse zur Dilatation die Axio-
me [COMP] und [GLSI]. Wir können hier also noch einmal die Gültigkeit von [CONT]
zeigen, was wir auch schon in Aufgabe 3.10 gesehen haben.
Das nächste Lemma ermöglicht es uns, Skalenraumanalysen auf einem größeren
Raum als
C b
R d
(
)
aufzufassen, nämlich auf dem Raum
R u gleichmäßig stetig und beschränkt
R d
u : R d
BUC (
)= {
}
(
BUC
steht für „bounded uniformly continuous“).
Lemma 5.8
Gelten [CONT] und [TRANS], so lässt sich jedes
T t eindeutig fortsetzen zu
R d
R d
T t :
BUC (
) →BUC (
)
.
C (
R d
Beweis. Wegen der Lipschitz-Stetigkeit [CONT] und der Dichtheit von
)
im Raum
R d
R d
R d
BUC (
)
T t auf jeden Fall zu einer Abbildung
T t
BUC (
) →BC (
)
lässt sich
:
R d
eindeutig fortsetzen. Bleibt also nur die gleichmäßige Stetigkeit von
T t u , u
∈BC (
)
zu zeigen.
Wähle also zu einem beliebigen
R d und
ε >
0 ein
δ >
0 so, dass für alle x
|
h
| < δ
|
(
)
(
+
) | < ε
=
gilt:
u
x
u
x
h
. Mit v
T h u und wegen [TRANS] sowie [CONT] ist nun
( T t u
=
( T t u
)(
) ( T t u
)(
+
)
)(
) ( T t v
)(
)
x
x
h
x
x
R d u
) ε
u
v
=
sup
x
(
x
)
u
(
x
+
h
,
also ist
T t u gleichmäßig stetig.
Dieses Lemma rechtfertigt im Nachhinein die Formulierung des Axioms [REC]: Gel-
ten [CONT] und [TRANS] so lassen sich die Operatoren
T t als Selbstabbildung auf
R d
BUC (
auffassen und die Verknüpfung von zwei solchen Operatoren ist sinnvoll.
Wenden wir uns nun einem zentralen Resultat der Skalenraum-Theorie zu, nämlich
dem Beweis des Zusammenhangs mit Lösungen von partiellen Differentialgleichungen,
insbesondere mit denen zweiter Ordnung. Dazu wird zunächst die Existenz eines in-
finitesimalen Generators gesichert, der den Differentialoperator repräsentiert, bezüglich
dessen die Skalenraumanalyse eine Differentialgleichung löst. Dieser Generator wird,
sofern er denn existiert, einfach durch Grenzwertbildung gewonnen.
)
Satz 5.9
Sei
( T t ) t 0 eine Skalenraumanalyse, die [TRANS], [COMP], [GLSI], [REC] und [REG] erfüllt.
Die Konstante C
(
u , v
)
in [REG] sei zusätzlich unabhängig für u , v
Q für jede Menge Q der
Gestalt
) α u
∈C b
R d
N d
Q
= {
u
(
C
für alle
α
}
.
(5.8)
α
Dann gilt auch die
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