Image Processing Reference
In-Depth Information
Wie in Beispiel 5.4 gesehen, erfüllt die Skalenraumanalyse zur Dilatation die Axio-
me [COMP] und [GLSI]. Wir können hier also noch einmal die Gültigkeit von [CONT]
zeigen, was wir auch schon in Aufgabe 3.10 gesehen haben.
Das nächste Lemma ermöglicht es uns, Skalenraumanalysen auf einem größeren
Raum als
C
b
R
d
(
)
aufzufassen, nämlich auf dem Raum
R
u
gleichmäßig stetig und beschränkt
R
d
u
:
R
d
BUC
(
)=
{
→
}
(
BUC
steht für „bounded uniformly continuous“).
Lemma 5.8
Gelten [CONT] und [TRANS], so lässt sich jedes
T
t
eindeutig fortsetzen zu
R
d
R
d
T
t
:
BUC
(
)
→BUC
(
)
.
C
∞
(
R
d
Beweis.
Wegen der Lipschitz-Stetigkeit [CONT] und der Dichtheit von
)
im Raum
R
d
R
d
R
d
BUC
(
)
T
t
auf jeden Fall zu einer Abbildung
T
t
BUC
(
)
→BC
(
)
lässt sich
:
R
d
eindeutig fortsetzen. Bleibt also nur die gleichmäßige Stetigkeit von
T
t
u
,
u
∈BC
(
)
zu zeigen.
Wähle also zu einem beliebigen
R
d
und
ε
>
0 ein
δ
>
0 so, dass für alle
x
∈
|
h
| <
δ
|
(
)
−
(
+
)
| < ε
=
gilt:
u
x
u
x
h
. Mit
v
T
h
u
und wegen [TRANS] sowie [CONT] ist nun
(
T
t
u
=
(
T
t
u
)(
)
−
(
T
t
u
)(
+
)
)(
)
−
(
T
t
v
)(
)
x
x
h
x
x
∈
R
d
u
)
≤
ε
≤
u
−
v
∞
=
sup
x
(
x
)
−
u
(
x
+
h
,
also ist
T
t
u
gleichmäßig stetig.
Dieses Lemma rechtfertigt im Nachhinein die Formulierung des Axioms [REC]: Gel-
ten [CONT] und [TRANS] so lassen sich die Operatoren
T
t
als Selbstabbildung auf
R
d
BUC
(
auffassen und die Verknüpfung von zwei solchen Operatoren ist sinnvoll.
Wenden wir uns nun einem zentralen Resultat der Skalenraum-Theorie zu, nämlich
dem Beweis des Zusammenhangs mit Lösungen von partiellen Differentialgleichungen,
insbesondere mit denen zweiter Ordnung. Dazu wird zunächst die Existenz eines
in-
finitesimalen Generators
gesichert, der den Differentialoperator repräsentiert, bezüglich
dessen die Skalenraumanalyse eine Differentialgleichung löst. Dieser Generator wird,
sofern er denn existiert, einfach durch Grenzwertbildung gewonnen.
)
Satz 5.9
Sei
(
T
t
)
t
≥
0
eine Skalenraumanalyse, die [TRANS], [COMP], [GLSI], [REC] und [REG] erfüllt.
Die Konstante C
(
u
,
v
)
in [REG] sei zusätzlich unabhängig für u
,
v
∈
Q für jede Menge Q der
Gestalt
)
∂
α
u
∈C
b
R
d
N
d
Q
=
{
u
(
∞
≤
C
für alle
α
∈
}
.
(5.8)
α
Dann gilt auch die