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Nimmt man zu den Voraussetzungen von Satz 5.11 weitere morphologische Axiome
hinzu, so vereinfacht sich die Form von
F
.
Lemma 5.13
Es gelten die Voraussetzungen von Satz 5.11.
1.
Gilt zusätzlich das Axiom [TRANS], so folgt
2
u
[
](
)=
(
(
)
∇
(
)
∇
(
))
A
u
x
F
u
x
,
u
x
,
x
.
2.
Gilt zusätzlich das Axiom [GLSI], so folgt
2
u
A
[
u
](
x
)=
F
(
x
,
∇
u
(
x
)
,
∇
(
x
))
.
Beweis.
Der Beweis basiert auf der Tatsache, dass sich die Eigenschaften [TRANS]
und [GLSI] von
T
t
auf
A
übertragen und sollte von Ihnen in Aufgabe 5.5 ausgearb
ei-
tet werden.
5.1.4 Viskositätslösungen
∈C
b
R
d
Laut Satz 5.11 kann man sagen, dass für
u
0
(
)
die Funktion
u
(
t
,
x
)=(
T
t
u
0
)(
x
)
gewissermaßen die Cauchy-Aufgabe
∂
u
∂
2
u
t
(
)=
(
(
)
∇
(
)
∇
(
))
(
)=
(
)
t
,
x
F
x
,
u
t
,
x
,
u
t
,
x
,
t
,
x
,
u
0,
x
u
0
x
=
löst, allerdings nur
zum Zeitpunkt t
0 (und die Zeitableitung nur als rechtsseitiger
Grenzwert).
Bemerkung 5.14
In der obigen Formulierung der Cauchy-Aufgabe haben wir die gebräuchliche Konven-
tion benutzt, dass für Funktionen mit ausgezeichneter „Zeitvariable“ (hier
t
) die Ope-
rationen
2
∇
∇
und
nur auf die „Raumvariable“
x
wirken. Dies werden wir auch im
Folgenden tun.
0 wahr ist, kann man folgende
Überlegung anstellen: Nutzt man [REC] aus, so sollte gelten
Um zu zeigen, dass die Gleichung auch für
t
>
T
s
T
t
(
)
(
u
0
x
)
−T
t
(
u
0
)(
x
)
∂
u
∂
T
t
+
s
(
u
0
)(
x
)
−T
t
(
u
0
)(
x
)
t
(
)=
=
t
,
x
lim
lim
s
s
→
0
+
→
0
+
s
s
A
)
(
A
u
·
)
(
F
x
,
u
)
.
2
u
=
T
t
(
)=
(
)=
(
)
∇
(
)
∇
(
u
0
x
t
,
x
t
,
x
,
u
t
,
x
,
t
,
x
Dies hieße, dass ganz
u
die partielle Differentialgleichung erfüllt. In diesem Schluss
liegt allerdings ein Problem:
C
b
R
d
T
t
(
)
(
)
u
0
ist nicht mehr notwendigerweise in
und
s
)
=
A
)
ist nicht zulässig.
1
T
s
(
T
t
(
))
−T
t
(
T
t
(
der Schluss lim
s→
0
+
u
0
u
0
u
0
