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[REG]:
Wir schätzen ab
((
u
+
hv
)
⊕
tB
)(
x
)
−
(
u
⊕
tB
)(
x
)
−
hv
(
x
)
u
u
=
(
+
)+
(
+
)
−
(
+
)
−
(
)
sup
y
x
y
hv
x
y
sup
y
x
y
hv
x
∈
∈
tB
tB
u
≤
sup
y
(
x
+
y
)+
hv
(
x
+
y
)
−
u
(
x
+
y
)
−
hv
(
x
)
∈tB
v
.
≤
h
sup
y
(
x
+
y
)
−
v
(
x
)
∈
tB
Eine analoge Rechnung mit
−
u
statt
u
und
−
v
statt
v
zeigt
v
.
((
+
)
⊕
)(
)
−
(
⊕
)(
)
−
(
)
≥−
(
+
)
−
(
)
u
hv
tB
x
u
tB
x
hv
x
h
sup
y
x
y
v
x
∈
tB
Nehmen wir an, dass
B
beschränkt ist, so folgt die Behauptung auf Grund der
Lipschitz-Stetigkeit von
v
. Wir halten fest: Die Multiskalen-Dilatation erfüllt das
Axiom [REG], wenn das Strukturelement beschränkt ist.
[LOC]:
Für die Lokalität machen wir folgende Abschätzung:
u
v
(
u
⊕
tB
)(
x
)
−
(
v
⊕
tB
)(
x
)=
sup
y
(
x
+
y
)
−
sup
y
(
x
+
y
)
∈tB
∈tB
u
.
≤
sup
y
(
x
+
y
)
−
v
(
x
+
y
)
∈
tB
Durch Ersetzen von
u
durch
−
u
und
v
durch
−
v
erhält man
v
.
(
⊕
)(
)
−
(
⊕
)(
)
≥
(
+
)
−
(
+
)
u
tB
x
v
tB
x
sup
y
x
y
u
x
y
∈
tB
∂
α
u
)=
∂
α
v
Nehmen wir an, dass
B
beschränkt ist und
(
x
(
x
)
für
|
α
|≤
1, so folgt
u
v
sup
y
(
x
+
y
)
−
v
(
x
+
y
)
=
o
(
t
)
und
sup
y
(
x
+
y
)
−
u
(
x
+
y
)
=
o
(
t
)
.
∈
tB
∈
tB
Wieder halten wir fest: Die Multiskalen-Dilatation erfüllt das Axiom [LOC], wenn
das Strukturelement beschränkt ist.
[COMP]:
Das Vergleichsprinzip haben wir unter dem Namen Monotonie in Satz 3.29
gesehen.
[TRANS]:
Die Verschiebungsinvarianz ist ebenfalls ein Teil des Satzes 3.29.
[GSI]:
Die Grauwert-Skalierungsinvarianz haben wir unter dem Namen Kontrastinva-
rianz in Satz 3.31 gesehen.
[ISO]:
Die Isometrieinvarianz ist dann erfüllt, wenn das Strukturelement invariant be-
züglich Rotationen ist.
