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[SCALE]:
Die Skalierungsinvarianz sieht man wie folgt:
(
D
id
u
⊕
tB
)(
x
)=
sup
y
u
(
λ
(
x
+
y
)) =
sup
z
u
(
λ
x
+
z
)=
D
(
u
⊕
λ
tB
)(
x
)
.
λ
λ
id
∈
tB
∈λtB
Für ein symmetrisches Strukturelement (d.h.
−
B
=
B
) folgt die Skalierungsinva-
rianz also mit
t
=
|λ|
t
.
Beispiel 5.5
(Fourier-Soft-Thresholding)
Eine etwas ungewöhnlichere Skalenraumanalyse ist durch folgende Konstruktion ge-
geben. Es sei
S
t
der Operator, der punktweise die komplexe
Soft-Thresholding-Funktion
|
S
t
(
x
)
|
x
|x|
t
falls
|
x
|−
|
x
| >
t
(
)=
S
t
x
|
x
|
|
|≤
0
falls
x
t
t
auswertet, d.h.
S
t
)
(
S
t
u
)
. Wir wenden das Soft-Thresholding auf die Fou-
(
u
x
)=
(
x
riertransformierte an, d.h.
)
. (5.6)
Weil sich die Symmetrieeigenschaften aus Korollar 4.6 unter dem punktweisen Thres-
holding nicht ändern, ist
)=
F
−
1
S
t
T
(
u
(
F
u
t
T
t
u
eine reellwertige Funktion, sofern überhaupt wohldefi-
niert. Dort liegt aber ein Problem: Im strengen Sinne ist
(
T
t
)
t≥
0
leider keine Skalenraum-
analyse nach Definition 5.1, da die Fouriertransformierte einer allgemeinen Funktionen
aus
C
b
R
d
eine Distribution ist, für die punktweise Operationen keinen Sinn ergeben.
Man kann jedoch zeigen, dass (5.6) auf
L
2
(
)
R
d
erklärt werden kann. In diesem Sinne ist
das
Fourier-Soft-Thresholding
eine Skalenraumanalyse auf
L
2
(
)
R
d
(
)
.
Es führt an dieser Stelle zu weit, die Gültigkeit der Axiome nachzuprüfen, es sei le-
diglich erwähnt, dass das Fourier-Soft-Thresholding eine nichtlineare Halbgruppe bil-
det. Lokalität, Translations-, Skalierungs- sowie Grauwert-Verschiebungsinvarianz sind
nicht gegeben, lediglich Isometrieinvarianz lässt sich ableiten. Eine Illustration des Vor-
gangs findet sich in Abbildung 5.4. Dort kann man gut beobachten, dass sich das Bild
mit zunehmenden Skalenparameter immer mehr auf die dominierenden oszillierenden
Strukturen reduziert. (Im Gegensatz zu groben Strukturen, wie zum Beispiel beim Fil-
tern mit dilatiertem Kern.)
Analog zum Fourier-Soft-Thresholding kann man Wavelet-Soft-Thresholding defi-
nieren. Wir benutzen die zweidimensionale, diskrete Wavelettransformation aus Ab-
schnitt 4.4.3 um aus einem Bild
u
die Approximationskoeffizienten
c
J
und die Detail-
koeffizienten
d
1,
J
,
d
2,
J
,
d
3,
J
,...
d
1,1
,
d
2,1
,
d
3,1
zu berechnen. Anschließend wenden wir die
Soft-Thresholding-Funktion mit Parameter
t
auf die Detailkoeffizienten an und rekon-
struieren. Diese Skalenraumanalyse hat im Wesentlichen die gleichen Eigenschaften wie
das Fourier-Soft-Thresholding, jedoch ist auch die Isometrieinvarianz nicht gegeben.
In der Praxis ist diese Skalenraumanalyse sehr verbreitet zum Entrauschen von Bil-
dern [140, 51, 32, 34]. Auch das Fourier-Soft-Thresholding ist zum Entrauschen geeignet.
In Abbildung 5.5 werden beide Methoden verglichen. Das Wavelet-Soft-Thresholding
ist sowohl von den PSNR-Werten als auch von der subjektiven Qualität her leicht über-
legen.
