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T
t
ausnutzen, um die Gültigkeit
[COMP]:
Erneut kann man die Linearität von jedem
dieses Axioms zu zeigen: Es genügt nämlich
T
t
u
≥
0 für alle
u
≥
0. Dies ist der
ϕ ≥
Fall, wenn
0 fast überall, denn dann gilt nämlich
(
T
t
u
)(
)=
)
≥
(
)
≥
(
−
≥
x
R
d
u
y
ϕ
t
x
y
d
x
0.
0
0 f.ü.
≥
0 f.ü.
[GLSI]:
Einfaches Nachrechnen liefert sofort die Grauwert-Verschiebungsinvarianz:
)
(
)=
(
)
∗
ϕ
t
(
T
t
(
u
+
c
x
u
+
c
x
)=(
u
∗
ϕ
t
)(
x
)+
R
d
c
ϕ
t
(
y
)
d
y
=(
∗ ϕ
t
)(
)+
=(
T
t
u
)(
)+
u
x
c
x
c
[GSI]:
Die Grauwert-Skalierungsinvarianz gilt nicht für die Faltungsoperatoren. Man
kann sich leicht Gegenbeispiele überlegen (Aufgabe 5.2).
[TRANS]:
Aus früheren Überlegungen wissen wir bereits, dass die Faltung mit
ϕ
t
eine
T
t
.
verschiebungsinvariante Operation ist und daher auch jedes
[ISO]:
Ist
ϕ
rotationsinvariant, so auch
ϕ
t
und es folgt für jede Rotation
R
:
)
(
)
ϕ
t
R
T
)
d
z
T
t
(
)=
(
)
ϕ
t
(
−
)
=
(
(
−
D
R
u
x
R
d
u
Ry
x
y
d
y
R
d
u
z
Rx
z
=
D
R
(
T
t
u
)
(
=
R
d
u
(
z
)
ϕ
t
(
Rx
−
z
)
d
z
x
)
.
Demnach gilt die Isometrieinvarianz für rotationsinvariante Kerne.
[SCALE]:
Für
λ
≥
0 kann man schreiben:
x
d
y
u
1
τ
(
−
y
T
t
(
)
(
)=
(
λ
)
D
x
R
d
u
y
d
ϕ
λ
id
τ
(
)
t
)
t
λ
d
z
=
D
)
(
−
1
λτ
(
x
z
=
R
d
u
(
z
)
)
d
ϕ
(
T
t
u
x
)
λ
id
λτ
(
t
)
t
wobei
t
so gewählt ist, dass
t
)=
λτ
(
τ
(
t
)
(dies ist möglich, da
τ
:
[
0,
∞
[
→
[
0,
∞
[
λ ≤
bijektiv nach Voraussetzung). Für
0 kann man analog schließen, daher gilt
auch die Skalierungsinvarianz.
Beispiel 5.4
(Erosion und Dilatation)
Für ein nichtleeres Strukturelement
B
R
d
definieren wir
tB
⊂
=
{
|
∈
}
. Basierend
auf dieser Skalierung konstruieren wir die zur Dilatation mit
B
gehörende Skalenraum-
analyse
ty
y
B
(
T
t
u
)=
u
⊕
tB
.
(5.5)
Analog lässt sich die zur Erosion mit
B
gehörende Skalenraumanalyse erklären, siehe
auch Abbildung 5.3. Wir beschränken uns hier auf die Dilatation.
