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Wir kombinieren diese beiden Beobachtungen und erhalten (unter Verwendung
einer generischen Konstante
C
):
d
y
R
d
v
)
ϕ
t
(
|
(
T
t
v
−
v
)(
x
)
|
=
(
y
)
−
v
(
x
)
−∇
v
(
x
)
·
(
y
−
x
x
−
y
)
2
v
2
≤
∇
∞
R
d
|
−
|
(
−
)
C
x
y
ϕ
t
x
y
d
x
C
C
d
ϕ
x
τ
(
2
R
d
|
x
|
2
2
≤
d
x
=
R
d
τ
(
t
)
|
x
|
|
ϕ
(
x
)
|
d
x
)
τ
(
t
)
t
2
=
C
τ
(
t
)
≤
Ct
.
Da diese Abschätzung unabhängig von
x
ist, gilt also [REG].
Mit mehr Momentenbedingungen an den Faltungskern
ϕ
kann man mit einem
Ct
1/
n
zulassen.
analogen Argument auch Zeitskalierungen der Art
τ
(
t
)
≤
[LOC]:
Um Lokalität nachzuprüfen, kann man sich aufgrund der Linearität auf
u
mit
∂
α
u
(
)=
=
x
0 für alle
α
zurückziehen. Ohne Einschränkung lässt sich auch
x
0
wählen. Vom Kern
ϕ
und der Zeitskalierung
τ
fordern wir die Bedingungen (5.4)
und zusätzlich
CR
−
α
,
R
|ϕ
(
)
|
≤
α >
x
d
x
2.
|
|>
x
Dann schätzt man ab:
d
y
|
(
T
t
u
)(
0
)
|
=
R
d
u
(
y
)
ϕ
t
(
y
)
2
u
2
≤
sup
|
|≤ε
|∇
(
y
)
|
|y|≤ε
|
y
|
|
ϕ
t
(
y
)
|
d
y
+
u
∞
|y|>ε
|
ϕ
t
(
y
)
|
d
y
y
2
2
u
2
≤
sup
|
|≤ε
|∇
(
y
)
|
τ
(
t
)
R
d
|
x
|
|
ϕ
(
x
)
|
d
x
y
+
C
u
∞
|x|≥ε
/
τ
(
t
)
|
ϕ
(
x
)
|
d
x
C
sup
+
ε
−α
t
α
/2
2
u
≤
|y|≤ε
|∇
(
)
|
y
t
2
u
δ >
ε →
∇
(
)=
Sei nun
0 gegeben. Für
0 gilt, aufgrund von
0
0 und der Stetigkeit
2
u
, dass sup
2
u
von
∇
|≤
ε
|∇
(
y
)
|→
0. Daher kann man
ε
>
0 so klein wählen, dass
|
y
2
u
≤
2
t
.
|y|≤ε
|∇
(
)
|
C
sup
y
t
Weiterhin ist, falls
t
klein genug,
ε
−
α
t
α
/2
≤
2
t
.
C
Zusammen haben wir also, dass für jedes
δ
>
0 gilt (falls
t
klein genug ist)
|
(
T
t
u
)(
0
)
|≤
δt
|
(
T
t
u
)(
)
|
=
(
)
und das bedeutet
0
o
t
, was zu zeigen war.
