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5 Partielle Differentialgleichungen in
der Bildverarbeitung
Die erste partielle Differentialgleichung in diesem Buch tauchte im Anwendungsbei-
spiel 3.23 bei der Kantenerkennung nach Canny auf: Dort wurden geglättete Versio-
nen eines Bildes durch die Lösung der Wärmeleitungsgleichung erhalten. Diesem lag
der Gedanke zugrunde, dass ein Bild Informationen auf verschiedenen Skalen ent-
hält und dass man a priori keine Skala festlegen kann. Die Wahrnehmung eines Bildes
hängt maßgeblich von der Auflösung des Bildes ab. Betrachtet man ein Satellitenfoto,
so nimmt man vielleicht die Form von Küstenlinien oder Gebirgszügen wahr. Bei einer
Luftaufnahme aus einem Flugzeug hingegen treten diese Merkmale in den Hintergrund
und die Wahrnehmung konzentriert sich eher auf Strukturen auf kleinerer Skala, wie
zum Beispiel Waldgebiete, Siedlungen und Straßenzüge. Wir sehen: Eine absolute Skala
existiert nicht. Die Skala hängt von der Auflösung und insbesondere auch von den Zie-
len der Analyse ab. Es stellt sich also die Frage, ob sich diese Skalenvorstellung mathe-
matisch umsetzen lässt. Hier ist es das Ziel, eine skalenunabhängige Darstellung eines
Bildes zu finden. Dieses Ziel motivierte den Begriff des
Skalenraumes
und die Mehr-
skalenbeschreibung von Bildern [99, 146, 87]. Der Begriff „Skalenraum“ meint keinen
Vektorraum oder eine vergleichbare mathematische Struktur, sondern es wird vielmehr
gesagt, was eine
Skalenraumdarstellung
oder
Multiskalendarstellung
ist: Zu einem gegebe-
nen Bild
u
0
:
Ω
→
[
∞[
×
Ω
→
R
definiert, wobei der neue
Parameter die
Skala
beschreibt. Die Skalenraumdarstellung soll zum Skalenparameter 0
das Originalbild liefern:
R
wird eine Funktion
u
:
0,
(
)=
(
)
u
0,
x
u
0
x
.
Für größere Skalenparameter sollen Darstellungen auf „gröberen Skalen“ entstehen.
Die Einführung der neuen Skalenvariable können wir auch anders auffassen: Wir be-
trachten das Originalbild
u
0
als Element eines geeigneten Raumes
X
(zum Beispiel ein
Raum von Funktionen
Ω
→
R
). Die Skalenraumdarstellung ist dann eine Abbildung
u
:
X
, also ein Weg durch den Raum
X
. Diese Sichtweise ist äquivalent zu der
vorherigen (mit
u
[
0,
∞
[
→
(
)=
(
σ
)(
)=
(
σ
)
“).
Darstellungen auf verschiedenen Skalen sind auf verschiedene Arten denkbar. Von
den uns bekannten Methoden ausgehend, können wir folgende Beispiele definieren:
0
u
0
und „
u
x
u
,
x
Faltung mit skalierten Kernen:
Wie in Anwendungsbeispiel 3.23 können wir zu einem
Bild
u
0
L
2
R
d
L
2
R
d
∈
(
)
und einem Faltungskern
h
∈
(
)
definieren
∗ σ
−
d
D
(
σ
)=(
)(
)
u
,
x
u
0
σ
−
1
id
h
x
.
