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R
d
[
∞[
×
→
Die Funktion
u
:
R
besteht also aus Faltungen von
u
mit verschie-
den breiten, auf gleiches Integral normierten Faltungskernen
y
0,
→
σ
−d
h
(
σ
−
1
y
)
.
Von dieser Art ist auch die kontinuierliche Wavelettransformation.
Alternativ könnten wir auch
u
∗
σ
−
d
D
(
σ
)=(
u
0
σ
−
1
id
h
)
setzen und hätten
u
:
L
2
R
d
[
∞[
→
(
)
0,
.
Morphologische Operatoren mit skalierten Strukturelementen:
Für ein beschränktes
Bild
u
0
:
R
d
R
d
können wir definieren
→
R
und ein Strukturelement
B
⊂
(
σ
)=(
σ
)(
)
(
σ
)=(
⊕ σ
)(
)
u
,
x
u
0
B
x
,
bzw.
u
,
x
u
0
B
x
.
Hier könnten wir alternativ
u
(
σ
)=(
u
0
σB
)
bzw.
u
(
σ
)=(
u
0
⊕
σB
)
schreiben
R
d
[
∞[
→B
(
)
und hätten
u
:
0,
.
Es lassen sich problemlos viele verschiedene Skalenraumanalysen generieren und es
stellt sich die Frage, welche sinnvoll sind. An dieser Stelle gibt es einen axiomatischen
Zugang [4], der, ausgehend von einer Anzahl von Axiomen, nur noch bestimmte Ar-
ten von Skalenraumanalysen zulässt. In diesem Kapitel werden wir zuerst diesen Zu-
gang wählen und dabei auf partielle Differentialgleichungen stoßen. Dies ermöglicht
eine Charakterisierung von Skalenraumanalysen und darauf aufbauend die Entwick-
lung von weiteren Methoden, die auf partiellen Differentialgleichungen basieren.
5.1 Axiomatische Herleitung von partiellen Differentialgleichungen
Der Gedanke hinter der axiomatischen Betrachtungsweise ist die Charakterisierung
und Herleitung von Bildverarbeitungsmethoden anhand spezifischer vorgegebener Ei-
genschaften, die auf einfache Weise für Bilder postuliert werden können. Es wird
im Folgenden entwickelt, wie aus einer überschaubaren Anzahl von Axiomen folgt,
dass die entsprechende Methode durch die Lösung einer partiellen Differentialglei-
chung beschrieben werden kann. Dies begründet die inzwischen weit entwickelte Theo-
rie von partiellen Differentialgleichungen für die Bildverarbeitung. Ausgangspunkt
der Betrachtungen ist die Skalenraum-Theorie und der Begriff der Skalenraumanaly-
se nach [4].
5.1.1 Skalenraum-Axiome
Zunächst erklären wir den Begriff der Skalenraumanalyse. Grob gesagt ist eine Ska-
lenraumanalyse einfach eine Familie von Abbildungen. Dazu definieren wir folgende
Funktionenräume:
R
u
C
b
R
d
u
:
R
d
∈C
∞
(
R
d
∂
α
u
beschränkt für alle
N
d
(
)=
{
→
)
α ∈
}
,
,
R
u
R
d
u
:
R
d
0
R
d
BC
(
)=
{
→
∈C
(
)
,
u
beschränkt
}
.
