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3.
Vergleichen Sie Ergebnisse und Laufzeiten Ihres Algorithmus an geeigneten Testbeispielen
mit dem Algorithmus
aus Aufgabe 4.12.
(
V
j
)
Aufgabe
4.14 (Skalierte Basen einer Multiskalenanalyse)
.
Es sei
eine Multiskalenanalyse mit
{
φ
j
,
k
k
Generator
φ
. Zeigen Sie, dass die Menge
∈
Z
}
eine Orthonormalbasis von
V
j
bildet.
Aufgabe
4.15 (Multiskalenanalyse von bandbeschränkten Funktionen)
.
Es sei
supp
L
2
2
−j
,2
−j
V
j
=
{
∈
(
)
⊂
[
−
π
]
}
u
R
u
π
.
eine Multiskalenanalyse von
L
2
1.
Zeigen Sie, dass
(
V
j
)
mit dem Generator
φ
(
x
)=
sinc
(
x
)
(
R
)
bildet.
2.
Bestimmen Sie die Koeffizientenfolge
(
h
k
)
, mit der
φ
die Skalierungsgleichung (4.4) erfüllt
und berechnen Sie das zugehörige Wavelet.
Aufgabe
4.16 (Eigenschaften von
ψ
aus Satz 4.67)
.
Es sei
φ
:
R
→
R
der Generator einer Multis-
kalenanalyse und sei
ψ
wie in Satz 4.67 definiert.
1.
Zeigen Sie, dass die Koeffizienten
(
h
k
)
der Skalierungsgleichung reell sind und folgende
Bedingung erfüllen: Für alle
l
∈
Z
gilt
1
falls
l
=
0
k∈
Z
h
k
h
k
+2
l
=
0
falls
l
=
0.
(Nutzen Sie, dass die Funktion
φ
für
m
∈
Z
,
m
=
0 senkrecht auf den Funktionen
φ
(
·
+
m
)
ist.)
2.
Zeigen Sie:
1
=
falls
l
0
(a)
Für alle
l
∈
Z
gilt
(
ψ
,
ψ
(
·−
l
)) =
0
falls
l
=
0.
∈
(
φ
ψ
(
·−
)) =
(b)
Für alle
l
Z
gilt
,
l
0.
