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Auf dem gleichen Weg bilden wir eine Multiskalenanalyse von
L
2
R
2
(
)
: Zu einer
des
L
2
Multiskalenanalyse
(
V
j
)
(
R
)
bilden wir die Räume
V
j
=
L
2
R
2
V
j
⊗
V
j
⊂
(
)
,
welche dadurch beschrieben sind, dass die Funktionen
Z
2
(
)
→ φ
j
,
k
1
(
)
φ
j
,
k
2
(
)
=(
)
∈
Φ
j
,
k
:
x
1
,
x
2
x
1
x
2
,
k
k
1
,
k
2
eine Orthonormalbasis von
V
j
bilden. Man nennt diese Konstruktion auch
Tensorpro-
dukt
von separablen Hilbert-Räumen, siehe zum Beispiel [142].
Im zweidimensionalen Fall haben die Wavelet-Räume, also die orthogonalen Kom-
plemente von
V
j
in
V
j−
1
, etwas mehr Struktur. Wir definieren den Wavelet-Raum
W
j
durch
W
j
(wobei die hochgestellte Zwei einmal ein Tensorprodukt bezeichnet und einmal nur ein
Name ist). Andererseits gilt
V
j−
1
V
j−
1
=
V
j
⊕
=
⊕
V
j
W
j
und es folgt
V
j
−
1
=(
⊕
)
⊗
(
⊕
)
V
j
W
j
V
j
W
j
=(
V
j
⊗
V
j
)
⊕
(
V
j
⊗
W
j
)
⊕
(
W
j
⊗
V
j
)
⊕
(
W
j
⊗
W
j
)
.
Wir führen folgende Bezeichnungen ein:
H
j
=
S
j
=
V
j
,
D
j
=
V
j
⊗
W
j
,
W
j
⊗
W
j
⊗
W
j
.
Damit ist
V
j
−
1
=
V
j
⊕
H
j
⊕
S
j
⊕
D
j
.
Ist
φ
die Skalierungsfunktion von
(
V
j
)
und
ψ
das zugehörige Wavelet, so definieren
wir drei Funktionen
1
2
3
(
)=
φ
(
)
ψ
(
)
(
)=
ψ
(
)
φ
(
)
(
)=
ψ
(
)
ψ
(
)
ψ
x
1
,
x
2
x
1
x
2
,
ψ
x
1
,
x
2
x
1
x
2
,
ψ
x
1
,
x
2
x
1
x
2
.
Z
2
Für
m
=
1, 2, 3,
j
∈
Z
und
k
∈
setzen wir
m
j
,
k
2
−j
m
2
−j
x
1
k
1
,2
−j
x
2
ψ
(
x
1
,
x
2
)=
ψ
(
−
−
k
2
)
.
j
,
k
k
1
Z
2
{ψ
∈
}
Nun kann man beweisen: Die Funktionen
bilden eine Orthonormalbasis
j
,
k
k
von
H
j
, die Funktionen
2
Z
2
bilden eine Orthonormalbasis von
S
j
{
ψ
∈
}
und die
j
,
k
k
3
Z
2
bilden eine Orthonormalbasis von
D
j
. Natürlich ist dann
{ψ
∈
}
Funktionen
j
,
k
m
m
Z
2
,
j
{
ψ
=
1, 2, 3,
k
∈
∈
Z
}
eine Orthonormalbasis von
L
2
R
2
.
Wir sehen, dass die Wavelet-Räume
W
j
(
)
1
,
2
3
von den drei Wavelets
ψ
ψ
und
ψ
und
deren Skalierungen und Translaten aufgespannt werden. Die Räume
H
j
enthalten die
