Image Processing Reference
In-Depth Information
c
−
4
d
−
4
d
−
5
d
−
6
d
−
7
2
−
4
c
−
8
u
≈
1
Abbildung 4.14.
Eindimensionale Wavelettransformation eines Signals mit dem Wavelet
(siehe Bei-
spiel 4.68). Unten ist das zu analysierende Signal
u
:
2
−
8
entspricht dies
ungefähr 2
−
4
c
−
8
. In den oberen Graphen sind die Wavelet- bzw. Approximationskoeffizienten dargestellt.
Bemerke, dass die Sprünge und Singularitäten des Signals große Koeffizienten auf den feinen Skalen hervor-
rufen. Anders verhält es sich mit den glatten Teilen des Signals, die fast ausschließlich durch die Approxima-
tionskoeffizienten dargestellt werden können.
[
]
→
=
0, 1
R
. Abgetastet mit
T
Wavelet-Koeffizienten am Rand äußert. Andere Methoden, wie die symmetrische Fort-
setzung oder auch die Nullfortsetzung, sind etwas komplizierter zu implementieren,
siehe hierzu [98].
Der Rechenaufwand für einen Zerlegungs- oder Rekonstruktionsschritt ist propor-
tional zur Länge des Filters
h
und zur Länge des Signals. Haben wir eine endliche Folge
c
0
gegeben, so halbiert sich durch das Downsampling die Länge der Folgen mit jedem
Zerlegungsschritt (bis auf Randfortsetzungseffekte). Da die Randfortsetzungseffekte in
der Größenordnung der Filterlänge liegen, erhalten wir für den Gesamtaufwand für die
Zerlegung eines Signals der Länge
N
2
M
in
M
Level mit einem Filter
h
der Länge
n
=
den Aufwand
. Gleiches gilt für die Rekonstruktion. Für kurze Filter
h
ist dies
sogar noch weniger als für die schnelle Fouriertransformation.
O
(
nN
)
4.4.5 Zweidimensionale diskrete Wavelettransformation
{ψ
j
,
k
j
,
k
von
L
2
∈
}
(
)
Aus einer orthonormalen Wavelet-Basis
Z
R
können wir eine Or-
thonormalbasis von
L
2
R
2
(
)
erhalten, in dem wir alle Tensorprodukte sammeln: Die
Funktionen
(
)
→ ψ
j
1
,
k
1
(
)
ψ
j
2
,
k
2
(
)
∈
x
1
,
x
2
x
1
x
2
,
j
1
,
j
2
,
k
1
,
k
2
Z
bilden eine Orthonormalbasis von
L
2
R
2
(
)
.
