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φ
(
)
x
1
ψ
(
x
)
x
7
Für die Symlets liegen die Koeffizienten der Skalierungsgleichung tabelliert vor.
4.4.4 Schnelle Wavelettransformation
Die Skalierungsgleichung (4.4) und die Definition des Wavelets in Satz 4.67 sind der
Schlüssel zu einer schnellen Wavelettransformation. Die Wavelet-Zerlegung eines Si-
gnals
u
L
2
∈
(
)
(
)
R
besteht in der Berechnung der Skalarprodukte
u
,
ψ
j
,
k
, denn da die
{ψ
j
,
k
j
,
k
eine Orthonormalbasis von
L
2
∈
}
(
)
Z
R
bilden gilt natürlich
=
∑
j
,
k
∈
Z
(
ψ
j
,
k
)
ψ
j
,
k
.
u
u
,
Dass sich die Skalarprodukte rekursiv berechnen lassen, zeigt das folgende Lemma.
Lemma 4.69
Es sei
φ
der Generator einer Multiskalenanalyse und
ψ
das zugehörige Wavelet aus Satz 4.67.
Dann gelten die Gleichungen
=
l
∈
Z
h
l
φ
j
−
1,
l
+
2
k
φ
j
,
k
l
h
1
−
l
φ
j
−
1,
l
+
2
k
.
=
l∈
Z
(
−
1
)
ψ
j
,
k
Weiterhin gilt für die Skalarprodukte eine analoge Beziehung
φ
j
,
k
)=
l∈
Z
h
l
(
u
,
φ
j−
1,
l
+2
k
)
(
u
,
(4.5)
ψ
j
,
k
)=
l∈
Z
(
−
1
)
l
h
1
−l
(
(
u
,
u
,
φ
j−
1,
l
+2
k
)
.
(4.6)
Beweis.
Wir benutzen die Skalierungsgleichung (4.4) für
φ
:
2
−j
/2
2
−j
x
(
)=
φ
(
−
)
φ
j
,
k
x
k
h
l
√
22
−j
/2
=
∑
l
2
−j
x
φ
(
(
−
)
−
)
2
k
l
=
∑
l
(
)
h
l
φ
j−
1,
l
+2
k
x
.
