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(
)
, die al-
le weiteren Forderungen einer Multiskalenanalyse erfüllen, eine Orthonormalbasis für
V
0
anzugeben (ein weiteres Beispiel finden Sie in Aufgabe 4.15). Es lässt sich jedoch
zeigen, dass sich unter der Annahme aus Bemerkung 4.63 (die Translate von
Im Allgemeinen ist es nicht einfach, zu einer Folge von Unterräumen
V
j
bilden
eine Rieszbasis von
V
0
) immer ein Generator konstruieren lässt, dessen Translate eine
Orthonormalbasis von
V
0
bilden, siehe z.B. [95]. Der Satz 4.67 gibt an, wie das zuge-
hörige Wavelet aussieht. Es sind mittlerweile eine große Fülle von Multiskalenanalysen
beziehungsweise von Wavelets mit verschiedenen Eigenschaften konstruiert worden.
Wir begnügen uns mit einigen Beispielen:
φ
Beispiel 4.68
(Daubechies-Wavelets, Symlets)
Wichtige Beispiele von Multiskalenanalysen sind:
Daubechies-Wavelets:
Die Daubechies-Wavelets (benannt nach Ingrid Daubechies,
vergleiche [46]) sind Wavelets mit kompaktem Träger, einer gewissen Glattheit
und einer gewissen Anzahl verschwindender Momente, das heißt, dass die Inte-
grale
R
x
l
0, . . . ,
k
und ein bestimmtes
k
alle Null sind. Es gibt eine
ganze Skala von diesen Wavelets. Diese Wavelets sind bei vorgegebenem Träger
die Wavelets mit den meisten verschwindenden Momenten, das heißt,
k
ist maxi-
mal. Das sogenannte
-Wavelet
ψ
(
x
)
d
x
für
l
=
ψ
(mit 2 verschwindenden Momenten) und die
zugehörige Skalierungsfunktion
φ
sehen so aus:
φ
(
x
)
1
ψ
(
x
)
x
3
Für das
-Wavelet können die Koeffizienten der Skalierungsgleichung noch
analytisch angegeben werden:
−
√
3
8
√
2
−
√
3
8
√
2
+
√
3
8
√
2
+
√
3
8
√
2
1
3
3
1
=
=
=
=
h
0
,
h
1
,
h
2
,
h
3
.
Für die weiteren Daubechies-Wavelets liegen die Werte tabelliert vor, siehe [46].
Symlets:
Die Symlets gehen auch auf Ingrid Daubechies zurück. Sie sind den Daube-
chies-Wavelets ähnlich, aber „symmetrischer“. Auch hier gibt es eine Skala von
Symlets. Das sogenannte
-Wavelet (mit 4 verschwindenden Momenten) und
die zugehörige Skalierungsfunktion sehen so aus:
