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Die Gleichung für
ψ
j
,
k
zeigt man analog und die Gleichungen für die Skalarproduk
te
sind eine unmittelbare Konsequenz.
Wir haben also, ausgehend von Werten
(
u
,
φ
0,
k
)
, Rekursionsformeln für die Koeffi-
zienten auf gröberen Skalen
j
>
0. Mit den Abkürzungen
c
j
d
j
=((
))
k∈
Z
,
=((
))
k∈
Z
u
,
φ
j
,
k
u
,
ψ
j
,
k
erhalten wir aus (4.5) und (4.6)
c
j
k
=
l
∈
Z
h
l
c
j−
1
d
j
k
l
h
1
−l
c
j−
1
=
l
∈
Z
(
−
1)
+
l
,
+
l
.
2
k
2
k
Die schnelle Wavelettransformation berechnet aus einer Projektion
P
V
j
u
die gröbere Pro-
jektion
P
V
j
+1
u
im Approximationsraum
V
j
+1
und den Wavelet-Anteil
P
W
j
+1
u
im Detail-
raum
W
j
+1
. Man bemerke, dass es sich im Falle einer endlichen Koeffizientenfolge
h
um endliche Summen handelt. Im Falle von kurzen Koeffizientenfolgen ist bei jedem
Rekursionsschritt nur wenig zu berechnen.
Für die Rekonstruktion wird wiederum die Projektion
P
V
j
u
aus der gröberen Ap-
proximation
P
V
j
+1
u
und den Details
P
W
j
+1
u
berechnet. Wie dies aussieht zeigt folgendes
Lemma.
Lemma 4.70
Für die Koeffizientenfolgen d
j
ψ
j
,
k
))
k∈
Z
,
und c
j
=((
=((
φ
j
,
k
))
k∈
Z
gilt folgende Rekursi-
u
,
u
,
onsformel
=
l∈
Z
c
j
+
1
h
k−
2
l
+
l∈
Z
d
j
+
1
c
j
k
k
−
2
l
h
1
−
(
k
−
2
l
)
(
−
1
)
.
l
l
=
Beweis.
Da der Raum
V
j
orthogonal in die Räume
V
j
+1
und
W
j
+1
zerlegt ist, gilt
P
V
j
u
P
V
j
+1
u
P
W
j
+1
u
. Beschreiben wir die Projektionen mit Hilfe der Orthonormalbasen, so
erhalten wir
+
k∈
Z
c
k
φ
j
,
k
=
P
V
j
u
=
P
V
j
+1
u
+
P
W
j
+1
u
=
l∈
Z
c
j
+1
φ
j
+1,
l
+
l∈
Z
d
j
+1
ψ
j
+1,
l
l
l
=
l∈
Z
c
j
+1
n∈
Z
h
n
φ
j
,
n
+
2
l
+
l∈
Z
d
j
+1
n
h
1
−n
φ
j
,
n
+
2
l
n∈
Z
(
−
1
)
l
l
=
l
∈
Z
c
j
+1
k
∈
Z
h
k
−
2
l
φ
j
,
k
+
l
∈
Z
d
j
+1
−
k
∈
Z
(
−
1
)
k
2
l
h
1
−
(
k−
2
l
)
φ
j
,
k
.
l
l
Durch Vertauschen der Summen und Vergleich der Koeffizienten folgt die Aussage.
