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φ
j
,
k
2
−j
/2
φ
1
4
2
4
1
P
V
−
1
u
P
V
−
2
u
1
2
j
k
2
j
(
+
)
k
1
u
Abbildung 4.12.
Darstellung eine Funktion in der stückweise konstanten Multiskalenanalyse. Links: Genera-
torfunktion
φ
und
φ
j
,
k
für
j
=
−
1,
k
=
3. Rechts: Funktion
u
(
x
)=
cos
(
π
x
)
und ihre Darstellung in den
Räumen
V
−
1
und
V
2
.
−
Bemerkung 4.63
Meist wird in der Definition einer Multiskalenanalyse nur gefordert, dass die Funkti-
onen
eine Rieszbasis bilden. Das heißt, ihre lineare Hülle liegt dicht im Raum
V
0
und es existieren 0
(
T
k
φ
)
<
≤
∈
A
B
, so dass für jedes
u
V
0
gilt
2
≤
k
∈
Z
|
(
u
,
T
k
φ
)
|
2
2
.
≤
A
u
B
u
Hier gehen wir nicht auf diese Konstruktion ein und verweisen auf [98, 95].
Wir geben das Standardbeispiel für eine Multiskalenanalyse an:
Beispiel 4.64
(Stückweise konstante Multiskalenanalyse)
Es sei
V
j
die Menge der Funktionen
u
L
2
∈
(
)
R
, welche auf den dyadischen Intervallen
k
2
j
,
2
j
[
(
+
)
[
∈
Z
konstant sind. Verschiebungsinvarianz, Inklusion und Skalierung
sind offensichtlich. Den trivialen Schnitt der
V
j
sieht man dadurch, dass die Nullfunkti-
on die einzige konstante
L
2
-Funktion ist. Die Vollständigkeit folgt aus der Tatsache, dass
sich jede
L
2
-Funktion durch stückweise konstante Funktionen approximieren lässt. Als
Generator dieser Multiskalenanalyse kommt
k
1
,
k
φ
=
χ
[0,1[
in Frage.
2
−
j
/2
2
−
j
x
Aus der Skalierungseigenschaft folgt, dass die Funktionen
φ
j
,
k
(
x
)=
φ
(
−
)
∈
k
Z
eine Orthonormalbasis von
V
j
bilden (Aufgabe 4.14). Im Sinne des vorherigen
Beispiels kann man etwas unpräzise aber suggestiv sagen:
P
V
j
u
ist die Darstellung von
u
„auf der Skala
V
j
“ und enthält Details von
u
„bis zur Größe 2
j
“, siehe Abbildung 4.12.
Auf Grund der Skalierungseigenschaft ist
,
k
φ
nicht nur in
V
0
, sondern auch in
V
1
.Da
−
die Funktionen
φ
−
1,
k
eine Orthonormalbasis von
V
−
1
bilden, gilt
)=
k∈
Z
h
k
√
2
φ
(2
x − k
)
φ
(
x
(4.4)
mit
h
k
=(
φ
. Die Gleichung (4.4) heißt
Skalierungsgleichung
und erklärt den Na-
men
Skalierungsfunktion
für
,
φ
−
1,
k
)
φ
. Die Funktionen
φ
j
,
k
erinnern schon an die kontinuierliche
