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2
j
2
j
k
. Die Wavelets finden
=
=
Wavelettransformation mit diskreten Werten
a
und
b
wir in folgender Konstruktion wieder:
Definition 4.65
(Approximations- und Detailräume)
Es sei
)
j∈
Z
eine Multiskalenanalyse. Die Räume
W
j
seien definiert als orthogonale
Komplemente von
V
j
(
V
j
in
V
j−
1
, das heißt es gilt
V
j−
1
=
V
j
⊕
W
j
,
V
j
⊥
W
j
.
Der Raum
V
j
heißt
Approximationsraum zur Skala j
, der Raum
W
j
heißt
Detailraum
oder
Wavelet-Raum zum Skala j
.
Auf Grund der Definition der Räume
W
j
folgt sofort
V
j
=
W
m
m
≥
j
+
1
und wegen der Vollständigkeit von
V
j
auch
L
2
(
R
)=
W
m
.
∈
m
Z
Weiterhin gilt
P
V
j−
1
=
P
V
j
+
P
W
j
und also
P
W
j
=
P
V
j−
1
−
P
V
j
.
L
2
∈
(
)
Wir können nun jedes
u
R
auf verschiedene Weisen mit Hilfe der Räume
V
j
und
W
j
darstellen:
=
j∈
Z
P
W
j
u
=
P
V
m
u
+
j≤m
P
W
j
u
.
Diese Gleichungen rechtfertigen die Bezeichnung „Multiskalenanalyse“: Die Räume
V
j
erlauben die systematische Approximation von Funktionen auf verschiedenen Skalen.
u
Beispiel 4.66
(Detailräume
W
j
bei der stückweise konstanten Multiskalenanalyse)
Wie sehen die Räume
W
j
im Beispiel 4.64 aus? Wir konstruieren sie mit Hilfe der Pro-
jektion
P
V
j
. Für
x
k
2
j
,
2
j
∈
[
(
+
)
[
k
1
gilt
2
−
m
(
k
+1)2
j
k
2
j
(
)=
(
)
P
V
j
u
x
u
x
d
x
.
Insbesondere heißt das
=
k
∈
Z
(
u
,
φ
j
,
k
)
φ
j
,
k
.
P
V
j
u
Um nun
P
W
j
+1
=
P
V
j
−
P
V
j
+1
zu erhalten, benutzen wir die Skalierungsgleichung für
φ
.
In diesem Fall ist
φ
(
)=
χ
[0,1[
(
)=
φ
(
)+
φ
(
−
)
x
x
2
x
2
x
1
