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Analogon zu Fourierreihen herzuleiten. Es stellt sich heraus, dass unter gewissen Um-
ständen die Funktionen
ψ
j
,
k
(
)
j
,
k
Z
2
−j
/2
2
−j
x
x
)=
ψ
(
−
k
∈
eine Orthonormalbasis des
L
2
bilden. Dies einzusehen erfordert einige Arbeit. Wir
führen zuerst den zentralen Begriff für Waveletreihen und die diskrete Wavelettransfor-
mation ein: die „Multiskalenanalyse“.
(
R
)
Definition 4.62
(Multiskalenanalyse)
Eine Folge
)
j
∈
Z
von abgeschlossenen Unterräumen des
L
2
(
V
j
(
R
)
heißt
Multiskalenana-
lyse
, falls gilt:
∈
Verschiebungsinvarianz:
Für alle
j
,
k
Z
gilt:
∈
⇐⇒
∈
u
V
j
T
2
j
k
u
V
j
.
∈
Inklusion:
Für alle
j
Z
ist
V
j
+1
⊂
V
j
.
Skalierung:
Für alle
j
∈
Z
gilt:
∈
⇐⇒
∈
u
V
j
D
1/2
u
V
j
+1
.
Trivialer Schnitt:
V
j
=
{
0
}
.
j
∈
Z
Vollständigkeit:
L
2
=
(
)
V
j
R
.
∈
j
Z
k
φ ∈
{
∈
}
Orthonormalbasis:
Es gibt eine Funktion
V
0
, so dass die Funktionen
T
k
φ
Z
eine Orthonormalbasis von
V
0
bilden.
Die Funktion
φ
heißt
Generator
oder auch
Skalierungsfunktion
der Multiskalenanalyse.
Ein paar Bemerkungen zu dieser Definition: Die Räume
V
j
sind verschiebungsin-
variant bezüglich den
dyadischen Verschiebungen
um 2
j
. Außerdem sind sie ineinander
geschachtelt und werden mit größerem
j
kleiner. Bezeichnen wir mit
P
V
j
die orthogonale
Projektion auf
V
j
, so gilt für jedes
u
lim
j
P
V
j
u
=
0,
und
lim
P
V
j
u
=
u
.
→
∞
→−
∞
j
