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Wir sehen hier eine Parallele zur Kantenerkennung nach Canny in Anwendungs-
beispiel 3.23. Dort wurde das Bild ebenfalls mit skalierten Gauß-Funktionen ge-
faltet.
Von ähnlicher Bauart ist der sogenannte Mexikanische Hut:
d
2
ψ
(
x
)=
−
d
x
2
G
(
x
)=
ψ
=
√
π
e
−x
2
/2
. Hier ist
2
/2
ψ
(
ξ
)=
ξ
x
2
2
e
−ξ
(
1
−
)
und
c
/2. Der Mexikanische Hut
hat seinen Namen von seiner Form:
ψ
1
|ψ|
1
2
x
ξ
-3
3
3
Haar-Wavelet:
Anders ist das Haar-Wavelet. Es ist
⎧
⎨
1
2
1
falls 0
≤
x
<
ψ
(
)=
1
2
x
−
1
falls
≤
x
<
1
⎩
0
sonst.
ψ
1
|
ψ
|
1
2
x
ξ
1
4
π
8
π
Dieses Wavelet ist unstetig, hat aber einen kompakten Träger. Wir werden ihm im
nächsten Abschnitt über die diskrete Wavelettransformation wieder begegnen.
Die Wavelets, die als Ableitungen der Gauß-Funktion entstehen, sind sehr glatt (un-
endlich oft differenzierbar) und fallen schnell ab. Insbesondere sind sie (und auch ihre
Fouriertransformierte) gut lokalisiert. Für eine diskrete Umsetzung wäre darüber hin-
aus noch ein kompakter Träger wünschenswert, denn dann wären die zu berechnenden
Integrale endlich. Das Haar-Wavelet hat einen kompakten Träger, ist jedoch unstetig.
Wie wir im nächsten Teil sehen werden ist es insbesondere sehr gut für die diskrete
Wavelettransformation geeignet. Dort werden uns noch weitere Wavelets begegnen.
4.4.3 Die diskrete Wavelettransformation
Die kontinuierliche Wavelettransformation ist eine redundante Darstellung. Es stellt
sich die Frage, ob es nicht ausreicht, die Wavelettransformation einer Funktion auf einer
Teilmenge von
R
zu kennen. Dies ist tatsächlich, unabhängig von der Funktion
und dem Wavelet, für gewisse diskrete Teilmengen der Fall. Dies ermöglicht es, ein
[
0,
∞
[
×
