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Korollar 4.60
Es seien u
,
L
2
ψ
∈
(
R
)
und c
ψ
=
1
. Dann gilt
∞
√
a
ψ
x
−
a
d
a
d
b
1
(
)=
(
)
u
x
L
u
a
,
b
.
ψ
a
2
R
0
Beweis.
Auf Grund der Normierung ist nur die Adjungierte der Wavelettransformation
zu berechnen. Für
u
L
2
L
2
d
a
d
b
a
2
∈
(
R
)
und
F
∈
([
0,
∞
[
×
R
,
)
gilt
∞
√
a
ψ
x
−
a
d
xF
d
a
d
b
a
2
1
(
L
u
,
F
)
L
2
)
=
u
(
x
)
(
a
,
b
)
ψ
d
a
d
b
a
2
([0,∞[
×
R
,
R
0
R
∞
√
a
ψ
x
−
a
d
a
d
b
a
2
1
=
(
)
(
)
u
x
F
a
,
b
d
x
.
R
R
0
Es folgt
∞
x
−
a
d
a
d
b
a
2
L
ψ
1
F
(
x
)=
F
(
a
,
b
)
√
a
ψ
0
R
und damit die Behauptung.
Beispiel 4.61
(Kontinuierliche Wavelets)
In der kontinuierlichen Wavelettransformation kommen zum Beispiel folgende Wave-
lets zum Einsatz:
e
−x
2
/2
d
Ableitungen der Gauß-Funktion:
Mit
G
(
x
)=
setzen wir
ψ
(
x
)=
−
d
x
G
(
x
)=
x
e
−x
2
/2
. Dies ist ein Wavelet, denn es ist
ψ
(
ξ
)=
2
/2
und also
e
−ξ
i
ξ
∞
|
ψ
(
ξ
)
|
2
ψ
=
ξ
=
π
c
2
π
d
.
ξ
0
Dieses Wavelet und seine Fouriertransformierte sehen so aus:
ψ
|
ψ
|
1
2
1
2
x
ξ
-3
3
3
Die Wavelettransformation können wir mit Hilfe der Faltung schreiben und haben
in diesem Fall
1
√
a
(
L
u
(
a
,
b
)=
u
∗
D
−
1/
a
ψ
)(
b
)
ψ
1
√
a
(
1/
a
G
)(
=
u
∗
D
b
)
−
=
√
a
)
)(
(
∗
(
)
u
D
−
1/
a
G
b
=
√
a
d
d
b
(
∗
(
))(
)
u
D
1/
a
G
b
.
−
