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Beweis.
Wir nutzen die Darstellung der Wavelettransformation als Skalarprodukt, die
Rechenregeln für die Fouriertransformation und die Plancherel-Formel (4.2)
1
√
a
(
(
)=
−b
D
1/
a
ψ
)
L
2
L
u
a
,
b
u
,
T
ψ
(
R
)
1
√
a
(
=
u
,
F
(
T
−b
D
1/
a
ψ
))
L
2
(
R
)
1
√
a
(
b
D
a
ψ
)
L
2
=
u
,
aM
−
(
)
R
=
√
a
e
i
bξ
ψ
(
(
ξ
)
ξ
)
R
u
a
d
ξ
=
√
a
2
πF
−
1
u
D
a
ψ
)(
(
)
b
.
Nun berechnen wir das Skalarprodukt von
L
v
und benutzen wieder die Re-
chenregeln für die Fouriertransformation und die Plancherel-Formel bezüglich der Va-
riablen
b
u
und
L
ψ
ψ
∞
d
a
d
b
a
2
(
)
L
2
)
=
(
)
(
)
L
u
,
L
v
L
u
a
,
b
L
v
a
,
b
ψ
ψ
ψ
ψ
d
a
d
b
a
2
([
∞
[
×
0,
R
,
R
0
∞
d
b
d
a
a
2
F
−
1
uD
a
ψ
)(
vD
a
ψ
)(
)
F
−
1
=
2
π
a
(
b
(
b
)
0
R
∞
d
a
a
2
(
ξ
)
ψ
(
(
ξ
)
ψ
(
=
2
π
a
u
a
ξ
)
v
a
ξ
)
d
ξ
0
R
∞
|ψ
(
2
ξ
)
|
a
=
R
(
ξ
)
(
ξ
)
2
π
u
v
d
a
d
ξ
.
a
0
|ψ
(
−ξ
)
|
=
|ψ
(
ξ
)
|
Variablensubstitution und
zeigen
∞
∞
∞
|
ψ
(
2
|
ψ
(
2
|
ψ
(
ω
)
|
2
a
ξ
)
|
a
|
ξ
|
)
|
c
ψ
d
a
=
d
a
=
d
ω
=
.
a
a
ω
2
π
0
0
0
Die nochmalige Anwendung der Plancherel-Formel zeigt die Behauptung.
Die Bedingung
c
ψ
<
∞
sorgt dafür, dass
L
eine stetige Abbildung ist, während
ψ
c
ψ
>
0 die stabile Umkehrbarkeit auf dem Bild von
L
garantiert.
ψ
Definition 4.59
Die Bedingung
∞
|
ψ
(
ξ
)
|
2
<
ψ
=
ξ <
∞
0
c
2
π
d
(4.3)
ξ
0
heißt
Zulässigkeitsbedingung
und Funktionen
ψ
, die sie erfüllen, heißen
Wavelets
.
Insbesondere sagt die Zulässigkeitsbedingung, dass die Fouriertransformierte ei-
nes Wavelets um Null herum schnell genug gegen Null gehen muss, grob gesprochen
ψ
(
0. Wir sehen daraus, dass der Mittelwert eines Wavelets verschwindet.
Analog zu Korollar 4.56 für die gefensterten Fouriertransformation folgern wir, dass
die Wavelettransformation auf ihrem Bild durch ihre Adjungierte (bis auf eine Konstan-
te) invertiert wird.
0
)=
