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Während die gefensterte Fouriertransformation ein festes Fenster benutzt, um die
zu analysierende Funktion zu lokalisieren, benutzt die Wavelettransformation Funk-
tionen verschiedener Breite, siehe Abbildung 4.11. Die Wavelettransformation kann im
Fall von Dimensionen höher als eins auf verschiedene Arten definiert werden. Wir be-
handeln den eindimensionalen Fall reellwertiger Funktionen:
Definition 4.57
Es seien
u
,
L
2
ψ ∈
(
)
∈
>
R
,
R
. Die
Wavelettransformation
von
u
mit
ψ
für
b
R
,
a
0 ist
√
a
ψ
x
−
a
d
x
.
1
(
)=
(
)
L
u
a
,
b
u
x
ψ
R
Die Wavelettransformation hängt von einem
Ortsparameter b
und einem
Skalenpa-
rameter a
ab. Wie im Fall der gefensterten Fouriertransformation haben wir mehrere
Möglichkeiten der Darstellung mit Hilfe des Skalarpoduktes und der Faltung:
1
√
a
(
L
u
(
a
,
b
)=
u
,
T
b
D
1/
a
ψ
)
L
2
ψ
−
(
R
)
1
√
a
(
=
∗
ψ
)(
)
u
D
b
.
−
1/
a
In der zweiten Darstellung sehen wir eine Beziehung zu Anwendungsbeispiel 3.23
(Kantenerkennung nach Canny). Auch dort wurde das zu analysierende Bild mit ver-
schieden skalierten Faltungskernen gefaltet. Die Wavelettransformation hat, wie die ge-
fensterte Fouriertransformation, eine gewisse Isometrieeigenschaft, allerdings bezüg-
lich eines gewichteten Maßes. Wir bezeichnen
R
∞
F
:
,
d
a
d
b
a
2
L
2
d
a
d
b
a
2
2
([
0,
∞
[
×
R
,
)=
[
0,
∞
[
×
R
→
|
F
(
a
,
b
)
|
<
∞
R
0
wobei wir den üblichen Übergang zu Äquivalenzklassen unterschlagen haben (siehe
Abschnitt 2.2.2). Das Skalarprodukt in diesem Raum ist
∞
d
a
d
b
a
2
(
F
,
G
)
L
2
)
=
F
(
a
,
b
)
G
(
a
,
b
)
.
d
a
d
b
a
2
([
∞
[
×
0,
R
,
0
R
Satz 4.58
Es seien u
,
L
2
ψ
∈
(
R
)
und es gelte
∞
|
ψ
(
ξ
)
|
2
0
<
c
ψ
=
2
π
d
ξ
<
∞
.
ξ
0
Dann ist
:
L
2
L
2
d
a
d
b
a
2
(
)
→
([
∞[
×
)
L
R
0,
R
,
ψ
eine lineare Abbildung und es gilt
(
L
u
,
L
v
)
L
2
)
=
c
ψ
(
u
,
v
)
L
2
.
ψ
ψ
d
a
d
b
a
2
(
R
)
([0,∞[
×
R
,
