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4.2.3 Der Alias-Effekt
Der Alias-Effekt ist das, was in den Abbildungen 3.1 und 4.5 zu sehen ist: Das diskrete
Bild, beziehungsweise Signal, entspricht nicht dem Originalsignal. Es tauchen Frequen-
zen in der diskreten Version auf, die im Original nicht enthalten sind. Sie stehen als
„Alias“ für die richtigen Frequenzen.
Im vorhergehenden Abschnitt haben wir gesehen, dass dieser Effekt nicht auftre-
ten kann, wenn das Signal hoch genug abgetastet wurde. Wie genau der Alias-Effekt
entsteht und wie man ihn beheben kann, wollen wir in diesem Abschnitt verstehen.
Wir benötigen ein weiteres Hilfsmittel:
Lemma 4.37
(Poisson-Formel)
Es sei u
L
2
L
2
∈
(
R
)
und B
>
0
so, dass entweder die Funktion
∑
k
∈
Z
u
(
·
+
2
Bk
)
∈
([
−
B
,
B
])
k
B
2
konvergiert. Dann gilt für fast alle
∑
k∈
Z
|
(
)
|
oder die Reihe
u
ξ
√
2
π
2
B
e
−
i
k
B
ξ
.
k
∈
Z
u
(
ξ
+
2
Bk
)=
k
∈
Z
u
(
k
B
)
Beweis.
Wir definieren die Periodisierung von
u
als
φ
(
ξ
)=
k∈
Z
u
(
ξ
+
2
Bk
)
.
L
2
Ist
, können wir die Funktion durch ihre Fourierreihe darstellen. Die
Fourier-Koeffizienten sind
φ
∈
([
−
B
,
B
])
B
−B
φ
(
ξ
)
1
2
B
e
−
i
k
B
ξ
d
(
φ
,
e
k
)
[
−B
,
B
]
=
ξ
B
1
2
B
k
∈
Z
u
(
ξ
+
2
Bk
)
e
−
i
k
B
ξ
d
ξ
=
−
B
B
1
2
B
k
∈
Z
u
(
ξ
+
2
Bk
)
e
−
i
k
B
(
ξ
+2
Bk
)
d
ξ
=
−
B
1
2
B
e
−
i
k
B
ξ
d
=
(
ξ
)
R
u
ξ
√
2
π
2
B
k
B
=
(
−
)
u
.
Also ist die Fourierreihe
φ
(
ξ
)=
k∈
Z
(
φ
,
e
k
)
[
−
B
,
B
]
e
k
(
ξ
)
√
2
π
2
B
e
i
k
B
ξ
k∈
Z
u
(
−
k
B
=
)
im
L
2
-Sinn konvergent, woraus die Behauptung folgt.
Andersherum konvergiert obige Fourierreihe, wenn die Koeffizienten
k
B
(
u
(
))
k
qu
a-
dratsummierbar sind und die Behauptung folgt ebenfalls.
