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Bemerkung 4.38
Im Spezialfall
ξ
=
0 erhalten wir die bemerkenswerte Formel
√
2
π
2
B
k
∈
Z
u
(
2
Bk
)=
k
∈
Z
u
(
B
k
)
,
die die Werte von
u
und
u
in Beziehung setzt.
Nun wenden wir uns genauer dem Abtasten zu. Mit Hilfe von Distributionen for-
muliert, können wir das diskret mit der Rate
B
abgetastete Signal wie in Bemerkung 3.3
als Delta-Kamm darstellen:
u
d
=
k∈
Z
u
(
k
B
)
δ
k
B
.
Der Zusammenhang von
u
und
u
d
erschließt sich über die Fouriertransformation.
Lemma 4.39
Es gilt für fast alle
ξ
B
π
k
∈
Z
u
(
ξ
+
2
Bk
)
.
u
d
(
ξ
)=
Beweis.
Die Fouriertransformation von
δ
k
B
ist nach Beispiel 4.26
1
√
2
e
−
i
k
B
ξ
.
F
(
δ
k
B
)(
ξ
)=
π
Deshalb ist aufgrund der Poisson-Formel (Lemma 4.37)
1
√
2
e
−
i
k
B
ξ
π
k
∈
Z
u
(
k
B
u
d
(
ξ
)=
)
B
π
n∈
Z
u
(
ξ
+
2
Bn
)
.
In Worten sagt das Lemma, dass die Fouriertransformation des abgetasteten Signals
einer Periodisierung mit Periode 2
B
der Fouriertransformation des Original-Signals ent-
spricht.
In dieser Sprechweise können wir die Rekonstruktionsformel aus dem Abtasttheo-
rem 4.35 auch als Faltung interpretieren:
=
)=
k
∈
Z
u
(
k
B
B
k
B
(
B
·
)(
(
)
(
π
(
−
)) =
∗
)
u
x
sinc
x
u
d
sinc
x
.
Auf der Fourier-Seite heißt das formal
B
u
(
ξ
)=
u
d
(
ξ
)
π
χ
[
−
B
,
B
]
(
ξ
)
.
Hat
u
seinen Träger im Intervall
[
−
B
,
B
]
, entsteht bei der Periodisierung kein Überlapp
u
d
B
und
π
χ
[
−
B
,
B
]
entspricht genau
u
. Diese Prozedur ist in Abbildung 4.6 zu sehen.
Hat allerdings
u
einen größeren Träger, so hat der Träger von
u
(
·
+
)
2
Bk
für mehrere
k
einen Schnitt mit
. Dieses „Zurückklappen“ im Frequenzbereich ist für den
Alias-Effekt verantwortlich, siehe Abbildung 4.7.
[
−
B
,
B
]
