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e
i
k
B
x
). Die Werte
u
k
B
(beachte
e
k
(
x
)=
(
)
bestimmen also die Werte
(
u
,
e
)
[
−
B
,
B
]
und
−k
L
2
da
u
∈
([
−
B
,
B
])
ist, auch die ganze Funktion
u
. Damit ist gezeigt, dass
u
durch die
k
B
))
k∈
Z
bestimmt ist.
Um die Rekonstruktionsformel zu zeigen, entwickeln wir
(
(
Werte
u
u
in seine Fourierreihe
ξ ∈
und beachten dabei, dass wir für
R
mit der charakteristischen Funktion
χ
[
−
B
,
B
]
einschränken müssen:
2
1
B
(
ξ
)=
k∈
Z
(
u
,
e
k
)
[
−
B
,
B
]
e
k
(
ξ
)
χ
[
−
B
,
B
]
(
ξ
)=
k∈
Z
u
(
−
k
B
)
(
ξ
)
χ
[
−
B
,
B
]
(
ξ
)
u
e
k
.
Da die inverse Fouriertransformation stetig ist, können wir sie an der Reihe vorbeizie-
hen und bekommen
2
1
B
k∈
Z
u
(
−
k
B
)
F
−
1
=
(
e
k
χ
[
−
B
,
B
]
)
u
.
Mit Hilfe der Rechenregeln aus Lemma 4.5 und Aufgabe 4.3 ergibt sich
F
−
1
(
e
k
χ
[
−
B
,
B
]
)(
x
)=
F
(
M
k
B
χ
[
−
B
,
B
]
)(
x
)
2
π
B
sinc
B
)
k
B
=
−k
B
F
(
χ
[
−
B
,
B
]
)(
)=
π
(
−
−
D
1
T
x
x
−
2
π
B
sinc
B
)
.
k
B
=
π
(
+
x
Die Kombination mit der vorhergehenden Formel zeigt die Behauptung.
Bemerkung 4.36
Im obigen Fall nennen wir
B
die
Bandbreite
des Signals. Die Bandbreite gibt an, welches
die höchste Frequenz in dem Signal ist. In Worten gesprochen sagt das Abtasttheorem
das Folgende:
B
abgetastet wer-
Hat ein Signal Bandbreite
B
, so muss es mit der Abtastrate
den, um alle Informationen des Signals zu speichern.
Wir benutzen hier das Wort „Frequenz“ nicht in dem Sinne, in dem es in den Inge-
nieurwissenschaften häufig benutzt wird. Dort wird typischerweise die Kreisfrequenz
f
=
B
benutzt. Ebenso ist dort die Variante der Fouriertransformation aus Bemer-
kung 4.3 mit dem Term e
−
2
π
i
x
·
ξ
2
π
verbreitet. Damit liest sich die Aussage des Abtasttheo-
rems:
Hat ein Signal Frequenzen bis zu einer maximalen Kreisfrequenz
f
, so muss
es mit der Abtastrate
1
2
f
abgetastet werden, um alle Informationen des Si-
gnals zu speichern.
Das heißt, dass man doppelt so schnell wie die höchste Kreisfrequenz abtasten muss.
Man nennt die Abtastrate
1
2
f
auch
Nyquist-Rate
.
